Пространство Лобачевского

Простра́нство Лобаче́вского, пространство, геометрия которого определяется аксиомами геометрии Лобачевского. В более широком смысле пространство Лобачевского понимается как неевклидово гиперболическое пространство, определение которого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства. Пусть ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$ – псевдоевклидово ${\displaystyle (n+1)}$-пространство индекса ${\displaystyle n}$; на ${\displaystyle n}$-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек ${\displaystyle n}$-сферы пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$, называется ${\displaystyle n}$-пространством Лобачевского и обозначается ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$. Такое определение пространства Лобачевского позволяет включить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств. Пространство ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ в проективном пространстве ${\displaystyle P_{n}}$ изображается внутренней областью овальной ${\displaystyle (n-1)}$-квадрики, которая является пересечением ${\displaystyle n}$-сферы мнимого радиуса с бесконечно удалённой плоскостью пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$, дополняющей это пространство до проективного пространства ${\displaystyle P_{n+1}}$. Точки овальной ${\displaystyle (n-1)}$-квадрики являются бесконечно удалёнными точками пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$, т. е. квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ до полного пространства ${\displaystyle P_{n}}$, называется идеальной областью пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$. Указанная интерпретация называется проективной интерпретацией Кэли – Клейна. Она может быть получена также путём проектирования ${\displaystyle n}$-сферы мнимого радиуса пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$ из её центра на касательную ${\displaystyle n}$-плоскость, которая является евклидовым ${\displaystyle n}$-пространством; при этом пространство ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ изображается внутренней областью ${\displaystyle n}$-шара в этой ${\displaystyle n}$-плоскости, граница ${\displaystyle n}$-шара является абсолютом пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ (иногда последнюю интерпретацию пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle R_{n}}$ называют интерпретацией Бельтрами – Клейна).

Проективная интерпретация ${\displaystyle 3}$-пространства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометрические свойства ${\displaystyle 2}$-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского.

Присоединением к пространству ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное пространство Лобачевского. ${\displaystyle m}$-плоскость, ${\displaystyle m<n}$, пересекающаяся с абсолютом, называется собственной ${\displaystyle m}$-плоскостью; не пересекающая абсолют – идеальной ${\displaystyle m}$-плоскостью; ${\displaystyle m}$-плоскость, касающаяся абсолюта, – изотропной ${\displaystyle m}$-плоскостью. Таким же образом классифицируются прямые пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки – полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные ${\displaystyle (n-m-1)}$-плоскости собственных ${\displaystyle m}$-плоскостей пространства Лобачевского ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ суть идеальные ${\displaystyle (n-m-1)}$-плоскости, и полярные ${\displaystyle (n-m-1)}$-плоскости идеальных ${\displaystyle m}$-плоскостей – собственные ${\displaystyle (n-m-1)}$-плоскости.</n<></math>

В пространстве ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ в качестве координат точки ${\displaystyle X}$ можно рассматривать координаты вектора ${\displaystyle x}$ этой точки в пространстве ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$, принадлежащей ${\displaystyle n}$-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора ${\displaystyle x}$ (координаты Вейерштрасса) при этом должны удовлетворять условию

${\displaystyle -(x^{0})^{2}+\sum _{i}(x^{i})^{2}=-1,\quad i>0}$.

Используются также координаты Бельтрами

${\displaystyle X^{i}={\frac {x^{i}}{x_{0}}},\quad i>0}$,

причём ${\displaystyle \sum _{i}(X^{i})^{2}<1}$. В пространстве ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ вводятся декартовы координаты ${\displaystyle u^{1},u^{2},\ldots ,u^{n}}$, связанные с координатами ${\displaystyle x^{i}}$ соотношениями

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}=\operatorname {ch} {\frac {u^{1}}{\sigma }}\operatorname {ch} {\frac {u^{2}}{\sigma }}\ldots \operatorname {ch} {\frac {u^{n}}{\sigma }},\\x^{0}=\operatorname {ch} {\frac {u^{1}}{\sigma }}\operatorname {ch} {\frac {u^{2}}{\sigma }}\ldots \operatorname {ch} {\frac {u^{n}}{\sigma }},\\\ldots \,\ldots \,\ldots \\x^{i}=\operatorname {sh} {\frac {u^{i}}{\sigma }}\operatorname {ch} {\frac {u^{i+1}}{\sigma }}\ldots \operatorname {ch} {\frac {u^{n}}{\sigma }},\\\ldots \,\ldots \,\ldots \\\ x^{n}=\operatorname {sh} {\frac {u^{n}}{\sigma }},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle i\sigma }$, ${\displaystyle i^{2}=-1}$, – радиус кривизны пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$.

Расстояние ${\displaystyle \delta }$ между точками ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ определяется соотношением

${\displaystyle \operatorname {ch} {\frac {\delta }{\sigma }}={\frac {\mid xEy\mid }{\sigma ^{2}}}}$,

где ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ – определённые выше векторы точек ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle E}$ – линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов.

Угол между двумя плоскостями пространства Лобачевского ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ совпадает с углом между ${\displaystyle n}$-плоскостями псевдоевклидова пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$, соответствующим этим плоскостям. Угол ${\displaystyle \varphi }$ между плоскостями связан с расстоянием ${\displaystyle \delta }$ между полюсами этих плоскостей соотношением

${\displaystyle \delta =\varphi \sigma i}$,

когда угол ${\displaystyle \varphi }$ – действительный, а ${\displaystyle \delta }$ – чисто мнимое, и

${\displaystyle \varphi ={\frac {\delta }{\sigma }}\,i}$,

когда угол ${\displaystyle \varphi }$ – чисто мнимый, а расстояние ${\displaystyle \delta }$ – действительное.

Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта.

В пространстве Лобачевского ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ определяются сферы (шары), эквидистантные поверхности, орисферы (орициклы при ${\displaystyle n=2}$), ${\displaystyle m}$-симплексы и т. д.

Классификация движений пространства Лобачевского ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ как коллинеаций, переводящих точки абсолюта (овальной квадрики) в себя, сводится к классификации вращений псевдоевклидова пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$. Группа движений пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ изоморфна факторгруппе группы вращений пространства ${\displaystyle ^{n}R_{n+1}}$ по её подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения от точки; состоит из двух связных компонент, является группой Ли. Движения пространства Лобачевского ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ описываются псевдоортогональными операторами индекса ${\displaystyle n}$. Для задания движения пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ достаточно указать, в какие точки переходят ${\displaystyle n+1}$ точек, не лежащих в одной ${\displaystyle (n-1)}$-плоскости.

Существует ряд конформных интерпретаций пространства Лобачевского, одной из которых является интерпретация Пуанкаре. Возможна также конформная интерпретация пространства на его плоскости. Кроме указанных существуют интерпретации в комплексных пространствах. В частности, для пространства ${\displaystyle ^{1}S_{3}}$ строятся интерпретации Котельникова многообразий прямых.

С помощью проективных интерпретаций наиболее полным образом классифицируются квадрики в пространстве ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ и, в частности, на ${\displaystyle 2}$-плоскости ${\displaystyle ^{1}S_{2}}$.

Пространство ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ является римановым ${\displaystyle n}$-пространством постоянной отрицательной кривизны ${\displaystyle -1/\sigma ^{2}}$, где ${\displaystyle \sigma i}$ – радиус кривизны пространства. Геометрия пространства Лобачевского в достаточно малых окрестностях точек близка к геометрии евклидова пространства такой же размерности.

В целом пространство ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ гомеоморфно пространству ${\displaystyle R_{n}}$, оно бесконечно простирается во всех направлениях. Всякая ${\displaystyle m}$-плоскость пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$, ${\displaystyle m<n,}$ является пространством ${\displaystyle ^{1}S_{m}}$. Кроме того, прямые линии пространства ${\displaystyle ^{1}S_{n}}$ являются его геодезическими линиями, а ${\displaystyle m}$-плоскости – вполне геодезическими ${\displaystyle m}$-поверхностями этого пространства.</n<></math>

В проективной классификации метрик неевклидовых пространств пространство Лобачевского также классифицируется по метрикам прямых, пучков плоскостей и ${\displaystyle m}$-плоскостей. В частности, на ${\displaystyle 2}$-плоскости пространства Лобачевского проективная метрика на прямой является гиперболической, а в пучках прямых – эллиптической.