Погружение многообразия

Погруже́ние многообра́зия, непрерывное отображение ${\displaystyle F:M^{m}\rightarrow N^{n}}$ ${\displaystyle m}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{m}}$ в ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle N^{n}}$, такое что для каждой точки ${\displaystyle x\in M^{m}}$ существует окрестность ${\displaystyle U_{x}}$, для которой ${\displaystyle F}$ есть вложение, т. е. гомеоморфизм на ${\displaystyle F\left(U_{x}\right)\subset N^{n}}$. В частности, если ${\displaystyle F}$ есть гомеоморфизм на ${\displaystyle F\left(M^{m}\right)}$, то он называется вложением ${\displaystyle M^{m}}$ в ${\displaystyle N^{n}}$. Погружение ${\displaystyle F}$ называется ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-погружением, если ${\displaystyle M^{m}}$ и ${\displaystyle N^{n}}$ суть ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкие многообразия (${\displaystyle l\geqslant 1}$, ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$, ${\displaystyle m\leqslant n}$) и отображение ${\displaystyle F}$ в соответствующих картах задаётся функциями

${\displaystyle x^{i}=f^{i}\left(u^{1},\ldots ,u^{m}\right),\quad i=1,\ldots ,n,}$

принадлежащими классу гладкости ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$, а ранг матрицы ${\displaystyle \left\|{\frac {df^{i}}{du^{j}}}\right\|}$ равен ${\displaystyle m}$ в каждой точке ${\displaystyle x\in M^{m}}$ (${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкое многообразие – многообразие, наделённое ${\displaystyle \Gamma }$-структурой, где псевдогруппа состоит из ${\displaystyle l}$ раз дифференцируемых отображений, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем ${\displaystyle \alpha }$).

К понятию погружения и ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкого погружения непосредственно примыкают понятия поверхности и ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкой поверхности. Погружения ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ многообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle N}$ называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм ${\displaystyle \Phi :M\rightarrow M}$, что ${\displaystyle F=G\Phi }$.

Погружённым многообразием называется пара, состоящая из многообразия ${\displaystyle M}$ и его погружения ${\displaystyle F}$; ${\displaystyle m}$-мерной поверхностью в ${\displaystyle n}$-мерном многообразии ${\displaystyle N^{n}}$ называется класс эквивалентных погружений ${\displaystyle F:M^{m}\rightarrow N^{n}}$; каждое погружение этого класса называется параметризацией поверхности. Поверхность называется ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкой, если на многообразиях ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ можно ввести ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-структуры и если среди параметризаций поверхности найдётся такая параметризация ${\displaystyle F}$, которая в этих структурах есть ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-погружение.

Теория погружённых многообразий, как правило, особенно в тех случаях, когда рассматриваются вопросы, связанные с геометрией погружений, изучает свойства, инвариантные относительно введённого выше понятия эквивалентности, и по существу совпадает с теорией поверхностей.

Пусть ${\displaystyle M^{m}}$ есть ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-многообразие, ${\displaystyle l\geqslant 1}$, ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$. Всякое ${\displaystyle M^{m}}$ допускает при ${\displaystyle m\geqslant 1}$ вложение в евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ и ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-погружение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$ при ${\displaystyle m\geqslant 2}$. Если ${\displaystyle m}$ положительно и не является степенью двойки, то всякое ${\displaystyle M^{m}}$ допускает ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$, в то же время при любом ${\displaystyle m=2^{s}}$ с ${\displaystyle s\geqslant 0}$ существуют замкнутые гладкие ${\displaystyle m}$-мерные многообразия, не допускающие даже топологического вложения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$ (таково, например, проективное пространство). Если ${\displaystyle M^{m}}$ не имеет компактных компонент, то оно допускает ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$.

Ориентируемое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие при ${\displaystyle m\neq 1,4}$ допускает ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$. Вопрос о возможности погружения ${\displaystyle m}$-мерного многообразия в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ при ${\displaystyle n<2m-1}$ связан с классами Уитни и классами Понтрягина этого многообразия. Известно также, что каждое ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие c ${\displaystyle l\geqslant 1}$, ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$ допускает собственное (т. е. такое, что прообраз каждого компактного множества компактен) погружение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ и собственное вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}}$. Если на ${\displaystyle M^{m}}$ задана риманова метрика, то часто рассматривают изометрическое погружение ${\displaystyle M^{m}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ или другое риманово пространство ${\displaystyle N^{n}}$. ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкое риманово многообразие, ${\displaystyle l=2}$, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$; ${\displaystyle l>2}$, ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$, допускает ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкое изометрическое погружение в некоторое ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. В случае компактного ${\displaystyle M^{m}}$ число ${\displaystyle n=(2m+1)(6m+14)}$. Наоборот, ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкое погружение (${\displaystyle l\geqslant 2}$, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$) ${\displaystyle M^{m}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ индуцирует на ${\displaystyle M^{m}}$ ${\displaystyle C^{l,\alpha }}$-гладкую риманову метрику (Сабитов. 1976^[1]).