Параметрическое уравнение множества точек пространства

Параметри́ческое уравне́ние мно́жества то́чек простра́нства, задание точек этого множества или их координат в виде значений функций некоторых переменных, называемых параметрами.

Параметрическое задание прямой в ${\displaystyle n}$-мерном векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеет вид

${\displaystyle x=x^{(0)}+at,\quad x^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n},\quad a\in \mathbb {R} ^{n},\quad -\infty <t<+\infty ,}$ (1)

где ${\displaystyle x^{(0)}}$ и ${\displaystyle a}$ – фиксированные векторы, ${\displaystyle x^{(0)}}$ – начальный вектор, а ${\displaystyle a\neq 0}$ – направляющий вектор, параллельный прямой. Если в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задан базис и координаты вектора ${\displaystyle x}$ обозначаются через ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, то уравнение ${\displaystyle (1)}$ в координатной форме имеет вид

{{center|${\displaystyle x_{k}=x_{k}^{(0)}+a_{k}t,\quad -\infty <t<+\infty ,\quad k=1,2,\dots ,n}$.

Параметрическое задание ${\displaystyle m}$-мерной гиперплоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеет вид

${\displaystyle x=x^{(0)}+a^{(1)}t_{1}+\dots +a^{(m)}t_{m},\quad x^{(0)}\in R^{n},}$ (2)

{{center|${\displaystyle a^{(j)}\in R^{n},\quad -\infty <t_{j}<+\infty ,\quad j=1,2,\dots ,m}$ – начальный вектор, соответствующий нулевым значениям параметров ${\displaystyle t_{j}}$, а ${\displaystyle a^{(1)},\dots ,a^{(m)}}$ – линейно независимая система ${\displaystyle m}$ векторов, параллельных рассматриваемой гиперплоскости. В координатной форме уравнение ${\displaystyle (2)}$ имеет вид

${\displaystyle x_{k}=x_{k}^{(0)}+a_{k}^{(1)}t_{1}+\dots +a_{k}^{(m)}t_{m},\quad -\infty <t_{j}<+\infty }$,

${\displaystyle j=1,2,\dots ,m,\quad k=1,2,\dots ,n}$

.

Параметрическое задание ${\displaystyle m}$-мерной поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеет вид

${\displaystyle x=x(t)=x(t_{1},\dots ,t_{m}),\quad t=(t_{1},\dots ,t_{m})\in E\subset \mathbb {R} ^{m},}$ (3)

где ${\displaystyle E}$ – например, замыкание некоторой области ${\displaystyle m}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, а ${\displaystyle x:E\to \mathbb {R} ^{n}}$ – отображение некоторого класса: непрерывное, дифференцируемое, непрерывно дифференцируемое, дважды дифференцируемое и т. д., в зависимости от чего рассматриваемая ${\displaystyle m}$-мерная поверхность также называется соответственно непрерывной, дифференцируемой и т. д. В случае ${\displaystyle m=1}$ множество ${\displaystyle E}$ является отрезком: ${\displaystyle E=[a,b]}$ и параметрическое уравнение ${\displaystyle (3)}$ превращается в параметрическое уравнение кривой: ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle a\leq t\leq b}$, в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Например, ${\displaystyle x_{1}=\cos {t}}$, ${\displaystyle x_{2}=\sin {t}}$, ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$, является параметрическим уравнением на плоскости окружности единичного радиуса с центром в начале координат.</t_j<+\infty<></math></t_j<+\infty,\quad></math></t<+\infty,\quad></math></t<+\infty,<></math>

В качестве множества ${\displaystyle E}$, на котором задано рассматриваемое параметрическое представление, иногда вместо замыкания ${\displaystyle m}$-мерной области берутся подмножества пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ другой природы.