Неявная функция

Нея́вная фу́нкция, функция ${\displaystyle f:E\rightarrow Y}$, заданная уравнением ${\displaystyle F(x,y)=z_{0}}$, где ${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow Z}$, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle E\subset X}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ – некоторые множества, т. е. такая функция ${\displaystyle f}$, что при любом ${\displaystyle x\in E}$ имеет место ${\displaystyle F(x,f(x))=z_{0}}$. Если ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ – топологические пространства и для некоторой точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)\in X\times Y}$ выполняется условие ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=z_{0}}$, то при определённых условиях в некоторой окрестности точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ уравнение ${\displaystyle F(x,y)=z_{0}}$ однозначно разрешимо относительно одной из переменных. Свойства решения этого уравнения описываются теоремами о неявной функции.

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – подмножества числовой прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle y_{0}\in Y}$, ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ – внутренняя точка множества ${\displaystyle X\times Y}$ на плоскости; тогда если функция ${\displaystyle F}$ непрерывна в некоторой окрестности точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=0}$ и существуют такие ${\displaystyle \delta >0}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$, что при любом фиксированном ${\displaystyle x\in \left(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right)}$ функция ${\displaystyle F(x,y)}$ как функция переменного ${\displaystyle y}$ строго монотонна на интервале ${\displaystyle \left(y_{0}-\varepsilon ,y_{0}+\varepsilon \right)}$, то найдётся такое ${\displaystyle \delta _{0}>0}$, что существует и притом единственная функция

${\displaystyle f:\left(x_{0}-\delta _{0},x_{0}+\delta _{0}\right)\longrightarrow \left(y_{0}-\varepsilon ,y_{0}+\varepsilon \right)}$

такая, что ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$ для всех ${\displaystyle x\in \left(x_{0}-\delta _{0},x_{0}+\delta _{0}\right)}$, причём функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна и ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}}$. Условия этой теоремы выполняются, если функция ${\displaystyle F(x,y)}$ непрерывна в окрестности точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, существует частная производная ${\displaystyle F_{y}}$, непрерывная в точке ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=0}$, а ${\displaystyle F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\neq 0}$. Если, кроме того, существует и частная производная ${\displaystyle F_{x}}$, также непрерывная в точке ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, то неявная функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, причём

${\displaystyle {\frac {df\left(x_{0}\right)}{dx}}=-{\frac {Fx\left(x_{0},y_{0}\right)}{Fy\left(x_{0},y_{0}\right)}}}$.

Эта теорема обобщается на случай системы уравнений, т. е. когда ${\displaystyle F}$ является векторной функцией. Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ суть ${\displaystyle n}$- и ${\displaystyle m}$-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ и ${\displaystyle y=\left(y_{1},\ldots ,y_{m}\right)}$. Пусть ${\displaystyle F}$ отображает некоторую окрестность ${\displaystyle W}$ точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$, в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle F_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,m}$, – координатные функции (oт ${\displaystyle n+m}$ переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{m}}$) отображения ${\displaystyle F}$, т. е. ${\displaystyle F=\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}$. Если отображение ${\displaystyle F}$ дифференцируемо на ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=0}$, а якобиан

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}{\partial \left(y_{1},\ldots ,y_{m}\right)}}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}\neq 0,}$

то существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ соответственно в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle U\times V\subset W}$ и единственное отображение ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$ такие, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ выполняется условие ${\displaystyle F(x,f(x))=0\in \mathbb {R} ^{m}}$. При этом ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}}$, отображение ${\displaystyle f}$ дифференцируемо на ${\displaystyle U}$, a если ${\displaystyle f=\left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}$, то явное выражение для частных производных ${\displaystyle \partial f_{j}/\partial x_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,m}$, находится из системы ${\displaystyle m}$ линейных относительно этих производных уравнений

${\displaystyle {\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{i}}}+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial F_{k}}{\partial y_{j}}}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}=0,}$

${\displaystyle k=1,2,\ldots ,m}$, ${\displaystyle i}$ фиксировано ${\displaystyle (i=1,2,\ldots ,n)}$. Иногда основное утверждение теоремы формулируется следующим образом: существуют окрестности ${\displaystyle U}$ п ${\displaystyle W_{0}}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle W_{0}\subset W}$, и единственное отображение ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ такие, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ выполняются условия ${\displaystyle (x,f(x))\in W_{0}}$, ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$. Иначе говоря, условия

${\displaystyle (x,y)\in W_{0},\quad F(x,y)=0}$

равносильны условиям ${\displaystyle x\in U}$, ${\displaystyle y=f(x)}$. В этом случае говорят, что уравнение ${\displaystyle F(x,y)=0}$ однозначно разрешимо в окрестности ${\displaystyle W_{0}}$ точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$.

Сформулированная классическая теорема о неявной функции обобщается на случай более общих пространств следующим образом. Пусть ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ аффинные нормированные пространства над полем действительных или комплексных чисел, т. е. аффинные пространства над указанными полями, которым сопоставлены соответственно нормированные векторные пространства ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$, причём ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ – полное пространство, ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$ – множество линейных непрерывных отображений пространства ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ в пространство ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$, ${\displaystyle W}$ – открытое множество в произведении пространств ${\displaystyle X\times Y}$ и ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)\in W}$, ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle y_{0}\in Y}$.

Пусть ${\displaystyle F:W\rightarrow Z}$ – непрерывное отображение ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=z_{0}}$. Если при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle (x,y)\subset W}$ отображение ${\displaystyle F}$ имеет частную производную Фреше ${\displaystyle F_{y}\in {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$, причём ${\displaystyle F_{y}(x,y):W\rightarrow {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$ является непрерывным отображением ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$, а линейное отображение ${\displaystyle F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right):{\boldsymbol {Y}}\rightarrow {\boldsymbol {Z}}}$ имеет непрерывное обратное линейное отображение (т. е. является обратимым элементом пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$), то существуют такие открытые соответственно в пространствах ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ множества ${\displaystyle U\subset X}$ и ${\displaystyle V\subset Y}$, ${\displaystyle x_{0}\in U}$, ${\displaystyle y_{0}\in V}$, что для любого ${\displaystyle x\in U}$ существует и притом единственный элемент ${\displaystyle y\in V}$, обозначаемый ${\displaystyle y=f(x)}$ и удовлетворяющий условиям:

${\displaystyle f(x)\in V\quad {\text{ и }}\quad F(x,f(x))=z_{0}}$.

При этом так определённая функция ${\displaystyle y=f(x)}$ является непрерывным отображением ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)}$.

Если ${\displaystyle X}$ также является аффинным нормированным пространством, то при определённых условиях неявная функция ${\displaystyle f:x\mapsto y}$, удовлетворяющая уравнению

${\displaystyle F(x,y)=z_{0},}$ (1)

также дифференцируема. Именно, пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ – аффинные нормированные пространства, ${\displaystyle W}$ – открытое множество из ${\displaystyle X\times Y}$, ${\displaystyle F:W\rightarrow Z}$, ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=z_{0}}$, ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle y_{0}\in Y}$, и пусть ${\displaystyle f}$ – неявное отображение, задаваемое уравнением (1) и отображающее некоторую окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x_{0}}$ в открытое подмножество ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle U\times V\in W}$. Таким образом, для всех ${\displaystyle x\in U}$ имеет место

${\displaystyle f(x)\in V,\quad F(x,f(x))=z_{0}}$ (2).

Пусть, кроме того, отображение ${\displaystyle f}$ непрерывно в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}}$. Тогда если отображение ${\displaystyle F}$ дифференцируемо в точке ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ и его частные производные Фреше ${\displaystyle F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}$ и ${\displaystyle F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}$ являются линейными непрерывными операторами, отображающими соответственно векторные пространства ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$, сопоставленные аффинным пространствам ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, в векторное пространство ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$, сопоставленное аффинному пространству ${\displaystyle Z}$, причём оператор ${\displaystyle F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}$ является обратимым элементом пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$, то отображение ${\displaystyle f}$ дифференцируемо в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и его производная Фреше задаётся формулой

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_{0}\right)=-F_{y}^{-1}\left(x_{0},y_{0}\right)\circ F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}$.

Эта формула получается в результате формального дифференцирования функции (2):

${\displaystyle F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\circ f^{\prime }\left(x_{0}\right)=0\in {\mathcal {L}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})}$

и умножения слева этого равенства на ${\displaystyle F_{y}^{-1}\left(x_{0},y_{0}\right)}$.

Если, кроме того, отображение ${\displaystyle F:W\rightarrow Z}$ непрерывно дифференцируемо на ${\displaystyle W}$, неявная функция ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$ непрерывна на ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U\times V\subset W}$ и для любого ${\displaystyle x\in U}$ частная производная Фреше ${\displaystyle F_{y}(x,f(x))}$ является обратимым элементом пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$, то отображение ${\displaystyle f}$ – непрерывно дифференцируемое отображение ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle V}$.

Можно указать и в общем случае условия существования и единственности неявной функции в терминах непрерывности производной Фреше: если пространство ${\displaystyle Z}$ полно, отображение ${\displaystyle F:W\rightarrow Z}$ непрерывно дифференцируемо на ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle F\left(x_{0},y_{0}\right)=z_{0}}$ и частная производная Фреше ${\displaystyle F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}$ является обратимым элементом пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {Y}},{\boldsymbol {Z}})}$, то уравнение (1) однозначно разрешимо в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, т. е. существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ соответственно в пространствах ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle U\times V\subset W}$ и единственная неявная функция ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$, удовлетворяющая условиям (2). При этом отображение ${\displaystyle f}$ непрерывно дифференцируемо на ${\displaystyle U}$. В таком виде теорема о неявной функции для нормированных пространств представляет собой прямое обобщение соответствующей классической теоремы о неявной функции для одного скалярного уравнения с двумя переменными.

Если, кроме того, функция ${\displaystyle F:W\rightarrow Z}$ непрерывно дифференцируема в окрестности ${\displaystyle W}$ точки ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)k}$ раз ${\displaystyle (k=1,2,\ldots )}$, то неявная функция ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$ также ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируема.

Более далёкие обобщения классической теоремы о неявной функции на случай дифференциальных операторов даны Дж. Нэшем (J. Nash) (см. Теорема Нэша).