Якобиан

Якобиа́н (определитель Якоби), функциональный определитель специального вида, составленный из частных производных 1-го порядка. Пусть заданы ${\displaystyle m}$ функций ${\displaystyle x_{i}=\phi _{i}(t_{1},\ldots ,t_{m})}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$, имеющих частные производные 1-го порядка по переменным ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{m}}$, тогда якобианом этих функций называется определитель вида

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t_{1}}}&{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t_{m}}}\\{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t_{1}}}&{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t_{m}}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial t_{1}}}&{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial t_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial t_{m}}}\\\end{vmatrix}},}$

кратко обозначаемый символом

${\displaystyle {\frac {D(\phi _{1},\ldots ,\phi _{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}}$

или

${\displaystyle {\frac {\partial (\phi _{1},\ldots ,\phi _{m})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}}$.

Модуль якобиана характеризует растяжение (сжатие) элементарного объёма при переходе от переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ к переменным ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{m}}$. Назван по имени К. Якоби, который впервые изучил его свойства и указал на применение (1833, 1841).