Неприводимый модуль

Неприводи́мый мо́дуль (простой модуль), ненулевой унитарный модуль ${\displaystyle M}$ над кольцом ${\displaystyle {R}}$ с единицей, содержащий лишь два подмодуля – нулевой и сам ${\displaystyle M}$.

Примеры: 1) если ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ – кольцо целых чисел, то неприводимые ${\displaystyle R}$-модули – это абелевы группы простого порядка; 2) если ${\displaystyle {R}}$ – тело, то неприводимые ${\displaystyle R}$-модули – это одномерные векторные пространства над ${\displaystyle R}$; 3) если ${\displaystyle D}$ – тело, ${\displaystyle V}$ – левое векторное пространство над ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle R=\operatorname {End} _{D}V}$ – кольцо линейных преобразований пространства ${\displaystyle V}$ (или плотное подкольцо этого кольца), то правый ${\displaystyle R}$-модуль неприводим: 4) если ${\displaystyle G}$ – группа, ${\displaystyle k}$ – поле, то неприводимые представления группы ${\displaystyle G}$ над ${\displaystyle k}$ – это в точности неприводимые модули над групповой алгеброй ${\displaystyle kG}$.

Правый ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ неприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен ${\displaystyle R/I}$, где ${\displaystyle I}$ – некоторый максимальный правый идеал в ${\displaystyle R}$. Если ${\displaystyle A,B}$ – неприводимые ${\displaystyle R}$-модули, ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$, то либо ${\displaystyle f=0}$, либо ${\displaystyle f}$ – изоморфизм (откуда следует, что кольцо эндоморфизмов неприводимого модуля является телом). Если же ${\displaystyle {R}}$ – алгебра над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – неприводимые модули над ${\displaystyle R}$, то (лемма Шура)

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(A,B)=\left\{{\begin{aligned}&k,\,\,{\text{ если }}\,\,A\cong B,\\&\{0\}\,\,{\text{ в противном случае. }}\end{aligned}}\right.}$

Понятие неприводимого модуля является одним из основных в теории колец и теории представлений групп. С его помощью определяются композиционный ряд и цоколь модуля, радикал Джекобсона модуля и кольца, вполне приводимый модуль. Неприводимые модули участвуют в определении ряда важных классов колец: классически полупростых колец, примитивных колец и др.