Тело (в математике)

Те́ло, кольцо, в котором уравнения ${\displaystyle ax=b}$ и ${\displaystyle ya=b}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, однозначно разрешимы. В случае ассоциативного кольца достаточно потребовать существования единицы ${\displaystyle 1}$ и однозначной разрешимости уравнений ${\displaystyle ax=1}$ и ${\displaystyle ya=1}$ для любого ${\displaystyle a\neq 0}$. Коммутативное ассоциативное тело является полем. Пример некоммутативного ассоциативного тела – тело кватернионов, определяемое как множество матриц вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\;\;\;{\begin{array}{rl}a\;&{\overline {b}}\\-b&{\overline {a}}\;\;\;\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$

над полем комплексных чисел с обычными операциями. Примером неассоциативного тела является алгебра Кэли – Диксона, состоящая из всех матриц того же вида над телом кватернионов. Это тело альтернативно (см. Альтернативные кольца и алгебры). Всякое тело является алгеброй с делением или над полем рациональных чисел, или над полем вычетов. Тело кватернионов является ${\displaystyle 4}$-мерной алгеброй над полем действительных чисел, а алгебра Кэли – Диксона ${\displaystyle 8}$-мерной. Размерность любой алгебры с делением над полем действительных чисел равна ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$ или ${\displaystyle 8}$ (см. ^[1], а также Топологическое кольцо). Поля действительных и комплексных чисел и тело кватернионов и только они являются связными локально компактными ассоциативными телами (^[2]). Всякая конечномерная алгебра без делителей нуля есть тело. Всякое конечное ассоциативное тело коммутативно (^[3]; ^[4]). Ассоциативное тело характеризуется тем, что все ненулевые модули над ним свободны. Всякое неассоциативное альтернативное тело конечномерно (^[5]). Сходный результат верен для тел Мальцева (^[6]) (см. Мальцева алгебра) и йордановых тел (^[7]) (см. Йорданова алгебра). В отличие от коммутативного случая не всякое ассоциативное кольцо без делителей нуля вложимо в тело (см. Вложение кольца).