Многочлен Гильберта

Многочле́н Ги́льберта градуированного модуля ${\displaystyle M={\underset {n}{\bigoplus }}{M_{n}}}$, многочлен, выражающий при больших натуральных ${\displaystyle n}$ размерности однородных слагаемых модуля как функцию от ${\displaystyle n}$. Более точно, справедлива теорема, доказанная по существу Д. Гильбертом. Пусть ${\displaystyle A=K\left[X_{0},\ldots ,X_{m}\right]}$ – кольцо многочленов над полем ${\displaystyle K}$, градуированное так, что ${\displaystyle X_{i}}$ являются однородными элементами степени ${\displaystyle 1}$, и пусть ${\displaystyle M={\underset {n}{\bigoplus }}{M_{n}}}$ – градуированный ${\displaystyle A}$-модуль конечного типа; тогда существует такой многочлен ${\displaystyle P_{M}(t)}$ с рациональными коэффициентами, что для достаточно больших ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}M_{n}=P_{M}(n)}$. Этот многочлен называется многочленом Гильберта.

Наибольший интерес представляет интерпретация многочлена Гильберта градуированного кольца ${\displaystyle R}$, являющегося факторкольцом кольца ${\displaystyle A}$ по однородному идеалу ${\displaystyle I}$; в этом случае многочлен Гильберта доставляет проективные инварианты проективного многообразия ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)\subset P^{m}}$, определяемого идеалом ${\displaystyle I}$. В частности, степень многочлена ${\displaystyle P_{R}(t)}$ совпадает с размерностью многообразия ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle p_{a}(X)=(-1)^{\mathrm {dim} X}\left(P_{R}(0)-1\right)}$ называется арифметическим родом многообразия ${\displaystyle X}$. Через многочлен Гильберта выражается также степень вложения ${\displaystyle X\subset P^{m}}$. Многочленом Гильберта кольца ${\displaystyle R}$ называют также многочлен Гильберта проективного многообразия ${\displaystyle X}$ относительно вложения ${\displaystyle X\subset P^{m}}$. Если ${\displaystyle O_{X}(1)}$ – обратимый пучок, соответствующий этому вложению, то

${\displaystyle P_{R}(n)=\operatorname {dim} _{K}H^{0}\left(X,O_{X}(1)^{\bigotimes n}\right)}$

для достаточно больших ${\displaystyle n}$.