Градуированный модуль

Градуи́рованный мо́дуль, модуль ${\displaystyle A}$, представленный в виде прямой суммы своих подмодулей ${\displaystyle A_{n}}$ (индекс ${\displaystyle n}$ пробегает все целые числа; некоторые из подмодулей ${\displaystyle A_{n}}$ могут быть тривиальными). Модуль ${\displaystyle A}$ называется положительно градуированным, если ${\displaystyle A_{n}=0}$ для всех ${\displaystyle n<0}$, и отрицательно градуированным, если ${\displaystyle A_{n}=0}$ для всех ${\displaystyle n>0}$. Элементы из ${\displaystyle A_{n}}$, отличные от нуля, называются однородными степени ${\displaystyle n}$. Подмодуль ${\displaystyle B}$ градуированного модуля ${\displaystyle A}$ называется однородным, если он разлагается в прямую сумму подмодулей ${\displaystyle B_{n}}$ таких, что ${\displaystyle B_{n}\subseteq A_{n}}$ для любого целого ${\displaystyle n}$. Тем самым ${\displaystyle B}$ также оказывается градуированным модулем. Если ${\displaystyle B}$ – однородный подмодуль градуированного модуля ${\displaystyle A}$, то фактормодуль ${\displaystyle {\bar {A}}=A/B}$ также является градуированным модулем: ${\displaystyle {\bar {A}}=\sum {\bar {A}}_{n}}$, где ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}}$ – образ подмодуля ${\displaystyle A_{n}}$ при естественном гомоморфизме ${\displaystyle A\rightarrow A/B}$, ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}\simeq A_{n}/B_{n}}$. Градуированные модули находят широкое применение в гомологической алгебре.