Градуированная алгебра

Градуи́рованная а́лгебра, алгебра ${\displaystyle A}$, аддитивная группа которой представлена в виде (слабой) прямой суммы групп ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\dots }$, причём ${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$ для любых ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$. Таким образом, аддитивная группа градуированной алгебры (рассматриваемая как модуль над кольцом целых чисел) есть положительно градуированный модуль. Примером градуированной алгебры может служить алгебра ${\displaystyle A=F[x]}$ многочленов над полем ${\displaystyle F}$, где ${\displaystyle A_{i}}$ – подпространство, порождённое одночленами степени ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle A_{0}=F}$). Возможно более общее определение градуированной алгебры ${\displaystyle A}$ как такой алгебры, аддитивная группа которой представляется в виде прямой суммы групп ${\displaystyle A_{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha }$ пробегает некоторую коммутативную полугруппу ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle A_{\alpha }A_{\beta }\subseteq A_{\alpha +\beta }}$ для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in G}$. С понятием градуированной алгебры тесно связано понятие фильтрованной алгебры. Действительно, на каждой градуированной алгебре ${\displaystyle A=\sum _{i\geq 0}A_{i}}$ естественным образом определяется возрастающая фильтрация:

${\displaystyle A=\cup _{k\geq 0}{\mathfrak {A}}_{k},\quad {\mathfrak {A}}_{0}\subset {\mathfrak {A}}_{1}\subset \dots ,\quad {\mathfrak {A}}_{k}=\sum _{i=0}^{k}A_{i}}$.

Обратно, если ${\displaystyle A=\cup _{k\geq 0}{\mathfrak {A}}_{k}}$ – фильтрованная алгебра ${\displaystyle ({\mathfrak {A}}_{0}\subset {\mathfrak {A}}_{1}\subset \dots }$, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}{\mathfrak {A}}_{j}\subset {\mathfrak {A}}_{i+j}}$), то определяют градуированную алгебру ${\displaystyle GA=\sum _{i\geq 0}A_{i}}$ (${\displaystyle A_{i}={\mathfrak {A}}_{i}/{\mathfrak {A}}_{i-1}}$, ${\displaystyle A_{0}={\mathfrak {A}}_{0}}$), которую называют градуированной алгеброй, ассоциированной с ${\displaystyle A}$. Аналогично определяется градуированное кольцо.