Многообразие Фано

Многообра́зие Фа́но, гладкое полное неприводимое алгебраическое многообразие ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$, антиканонический пучок ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ которого обилен. Основы изучения таких многообразий заложены Дж. Фано (Fano. 1931; 1942).

Многообразие Фано размерности ${\displaystyle 2}$ называется поверхностью дель Пеццо и является рациональной поверхностью. Многомерные аналоги поверхностей дель Пеццо – многообразия Фано размерности ${\displaystyle >2}$ – уже не все являются рациональными многообразиями, например общая кубика в проективном пространстве ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$.

Хорошо изучены трёхмерные многообразия Фано (Mori. 198; Исковских. 1977; 1978). О многообразиях Фано размерности больше ${\displaystyle 3}$ известны лишь отдельные частные результаты.

Группа Пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} X}$ трёхмерного многообразия Фано ${\displaystyle X}$ конечно порождена и не имеет кручения. В случае когда основное поле ${\displaystyle k}$ совпадает с полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ранг группы ${\displaystyle \operatorname {Pic} \,X}$, равный второму числу Бетти ${\displaystyle b_{2}(X)}$, не больше ${\displaystyle 10}$ (^[1]). Если ${\displaystyle b_{2}(X)\geqslant 6}$, то многообразие Фано изоморфно ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times S_{11-b_{2}(X)}}$, где ${\displaystyle S_{d}}$ – поверхность дель Пеццо степени ${\displaystyle d}$. Многообразие Фано ${\displaystyle X}$ называется примитивным, если не существует моноидального преобразования ${\displaystyle \sigma :X\rightarrow X^{\prime }}$ гладкого многообразия ${\displaystyle X^{\prime }}$ с центром в неособой неприводимой кривой. Если многообразие Фано ${\displaystyle X}$ примитивно, то ${\displaystyle b_{2}(X)\leqslant 3}$. Если ${\displaystyle b_{2}(X)=3}$, то ${\displaystyle X}$ является расслоением на коники над ${\displaystyle S=\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$, другими словами, тогда существует морфизм ${\displaystyle \pi :X\rightarrow S}$, слой которого изоморфен конике, т. е. алгебраической схеме, заданной однородным уравнением степени ${\displaystyle 2}$ в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$. Многообразие Фано ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle b_{2}(X)=2}$ является расслоением на коники над проективной плоскостью ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ (Mori, Mukai. 1981). В случае ${\displaystyle b_{2}(X)=1}$ существует 18 типов многообразий Фано, которые описаны (Исковских. 1979).

Для трёхмерных многообразий Фано ${\displaystyle X}$ индекс самопересечения антиканонического дивизора ${\displaystyle \left(-K_{X}^{3}\right)\leqslant 64}$. Наибольшее целое число ${\displaystyle r\geqslant 1}$ такое, что ${\displaystyle H^{\otimes r}}$изоморфно ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ для некоторого дивизора ${\displaystyle H\in \operatorname {Pic} X}$, называется индексом многообразия Фано. Индекс трёхмерного многообразия Фано может принимать значения ${\displaystyle 1,2,3,4}$. Многообразие Фано индекса ${\displaystyle 4}$ изоморфно проективному пространству ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$, а многообразие Фано индекса ${\displaystyle 3}$ изоморфно гладкой квадрике ${\displaystyle Q\subset \mathbf {P} ^{4}}$. Если ${\displaystyle r=2}$, то индекс самопересечения ${\displaystyle d=H^{3}}$ может принимать значения ${\displaystyle 1\leqslant d\leqslant 7}$, причём каждое из них реализуется на некотором многообразии Фано. Для многообразия Фано индекса ${\displaystyle 1}$ отображение ${\displaystyle \varphi _{K_{X}^{-1}}:X\rightarrow \mathrm {P} ^{\operatorname {dim} }\left|K_{X}^{-1}\right|}$, определяемое линейной системой ${\displaystyle \left|K_{X}^{-1}\right|}$, имеет степень ${\displaystyle \operatorname {deg} \varphi _{K_{X}^{-1}}=1}$ или ${\displaystyle 2}$. Описаны многообразия Фано индекса ${\displaystyle 1}$, для которых ${\displaystyle \operatorname {deg} \varphi _{K_{X}^{-1}}=2}$. Если ${\displaystyle \operatorname {deg} \varphi _{K_{X}^{-1}}=1}$, то многообразие Фано ${\displaystyle X}$ реализуется как подмногообразие ${\displaystyle V_{2g-2}}$ степени ${\displaystyle 2g-2}$ в проективном пространстве ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g+1}}$. Число ${\displaystyle g}$ называется родом многообразия Фано ${\displaystyle V_{2g-2}}$ и совпадает с родом канонической кривой – сечения многообразия ${\displaystyle X}$ при антиканоническом вложении в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g+1}}$. Известна классификация многообразий Фано ${\displaystyle V_{2g-2}\subset \mathbf {P} ^{g+1}}$, класс гиперплоского сечения которых совпадает с антиканоническим классом и порождает группу ${\displaystyle \operatorname {Pic} V_{2g-2}}$ (Roth. 1950; Исковских. 1977; 1978).