Рациональная поверхность

Рацион́альная пове́рхность, двумерное алгебраическое многообразие, определённое над полем ${\displaystyle k}$, поле рациональных функций которого является чисто трансцендентным расширением поля ${\displaystyle k}$ степени 2. Любая рациональная поверхность ${\displaystyle X}$ бирационально изоморфна проективному пространству ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$.

Геометрический род ${\displaystyle p_{g}}$ и иррегулярность ${\displaystyle q}$ полной гладкой рациональной поверхности ${\displaystyle X}$ равны 0, т. е. на ${\displaystyle X}$ нет регулярных дифференциальных 2-форм и 1-форм. Все кратные роды ${\displaystyle P_{n}=\operatorname {dim} H^{0}\left(X,O_{X}\left(nK_{X}\right)\right)}$ гладкой полной рациональной поверхности ${\displaystyle X}$ также равны 0, где ${\displaystyle K_{X}}$ – канонический дивизор поверхности ${\displaystyle X}$. Эти бирациональные инварианты выделяют рациональные поверхности среди всех алгебраических поверхностей, а именно: всякая гладкая полная алгебраическая поверхность с инвариантами ${\displaystyle p_{g}=q=P_{2}=0}$ является рациональной поверхностью (критерий рациональности Кастельнуово). Согласно другому критерию рациональности, гладкая полная алгебраическая поверхность ${\displaystyle X}$ является рациональной поверхностью тогда и только тогда, когда на ${\displaystyle X}$ лежит неособая рациональная кривая ${\displaystyle C}$, индекс самопересечения которой ${\displaystyle \left(C^{2}\right)_{X}>0}$.

Каждая алгебраическая поверхность, кроме рациональных поверхностей и линейчатых поверхностей, бирационально изоморфна единственной минимальной модели. В классе рациональных поверхностей имеется счётное множество относительно минимальных моделей. Это – проективное пространство ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$ и поверхности ${\displaystyle F_{n}\simeq P\left({\mathcal {L}}_{n}\right)}$ (проективизации двумерных линейных расслоений над проективной прямой ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}}$), ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}\simeq O_{\mathrm {P} ^{1}}\oplus O_{\mathrm {P} ^{1}}(-n)}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ и ${\displaystyle n\neq 1}$. Другими словами, поверхность ${\displaystyle F_{n}}$ – это расслоение на рациональные кривые над рациональной кривой, у которого есть сечение ${\displaystyle S_{n}}$ – гладкая рациональная кривая с индексом самопересечения ${\displaystyle \left(S_{n}^{2}\right)_{F}=-n}$. Поверхность ${\displaystyle F_{0}}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}\times \mathrm {P} ^{1}}$, а поверхности ${\displaystyle F_{n}}$ получаются из ${\displaystyle F_{0}}$ с помощью последовательности элементарных преобразований (Алгебраические поверхности. 1965^[1]).

Рациональные поверхности имеют большую группу бирациональных преобразований (т. н. группу кремоновых преобразований).

Если на гладкой полной рациональной поверхности антиканонический пучок ${\displaystyle O_{X}\left(-K_{X}\right)}$ обилен, то ${\displaystyle X}$ называется поверхностью дель Пеццо. Наибольшее целое число ${\displaystyle r>0}$ такое, что ${\displaystyle -K_{X}\sim rD}$ для некоторого дивизора ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle X}$, называется индексом поверхности дель Пеццо. Индекс ${\displaystyle r}$ может принимать значения 1, 2, 3 (Исковских.1979^[2]). Поверхность дель Пеццо индекса 3 изоморфна ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$. Для поверхности дель Пеццо ${\displaystyle X}$ индекса 2 рациональное отображение ${\displaystyle \varphi _{O_{X}(D)}:X\rightarrow P^{3}}$, определяемое пучком ${\displaystyle O_{X}(D)}$, даёт бирациональный изоморфизм на квадрику в ${\displaystyle \mathrm {P} ^{3}}$. Поверхности дель Пеццо индекса 1 могут быть получены ${\displaystyle n}$ моноидальными преобразованиями плоскости ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$ с центрами в точках общего положения, где ${\displaystyle 1\leqslant n\leqslant 8}$ (Исковских. 1979).