Обильный пучок

Оби́льный пучо́к, обобщение понятия обильного обратимого пучка. Пусть ${\displaystyle X}$ – нётерова схема над полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ – локально свободный пучок на ${\displaystyle X}$ (т. е. пучок сечений некоторого векторного алгебраического расслоения ${\displaystyle E\to X}$). Пучок ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ называется обильным, если для всякого когерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ существует целое число ${\displaystyle n_{0}}$, зависящее от ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, такое, что пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes S^{n}{\mathcal {E}}}$ при ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ порождается своими глобальными сечениями (здесь ${\displaystyle S^{n}{\mathcal {E}}}$ обозначает ${\displaystyle n}$-ю симметрическую степень пучка ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$).

Локально свободный пучок ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ на ${\displaystyle X}$ обилен тогда и только тогда, когда обилен обратимый тавтологический пучок ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {E}})}$ на проективизации ${\displaystyle P(E)}$ расслоения ${\displaystyle E}$. Другой критерий обильности состоит в том, что для всякого когерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ должно существовать целое число ${\displaystyle n_{0}}$, зависящее от ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, такое, что группа когомологий ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}\otimes S^{n}{\mathcal {E}}}$) равна нулю при ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ и ${\displaystyle i>0}$. Если пучки ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ обильны, то и ${\displaystyle {\mathcal {E}}\otimes {\mathcal {F}}}$ – обильный пучок (Hartshorne. 1966^[1]). Если ${\displaystyle X}$ – неособая комплексная проективная кривая, то пучок ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ на ${\displaystyle X}$ обилен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ и все его факторпучки имеют положительные степени (Hartshorne. 1971^[2]). Касательный пучок на ${\displaystyle P^{N}}$ обилен для любого ${\displaystyle N}$ (Hartshorne. 1966). Справедливо и обратное утверждение: любое неособое ${\displaystyle N}$-мерное алгебраическое многообразие с обильным касательным пучком изоморфно ${\displaystyle P^{N}}$ (Hartshorne. 1966; Demazure. 1981).