Матрица Якоби дифференцируемого отображения

Ма́трица Яко́би дифференци́руемого отображе́ния ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, матрица ${\displaystyle \mathbf {J} }$, составленная из частных производных в точке ${\displaystyle x_{0}}$ отображения ${\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, имеющего в ${\displaystyle x_{0}\in X}$ все частные производные 1-го порядка, обобщение понятия производной на многомерный случай. Пусть ${\displaystyle f=(f^{1},\dots ,f^{m})}$, ${\displaystyle x=(x^{1},\dots ,x^{n})}$. Тогда

${\displaystyle \mathbf {J} _{f}(x_{0})={\Big \|}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}(x_{0}){\Big \|}={\begin{Vmatrix}{\frac {\partial f^{1}}{\partial x^{1}}}(x_{0})&\ldots &{\frac {\partial f^{1}}{\partial x^{n}}}(x_{0})\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f^{m}}{\partial x^{1}}}(x_{0})&\ldots &{\frac {\partial f^{m}}{\partial x^{n}}}(x_{0})\end{Vmatrix}}}$.

Матрица Якоби определяет линейное отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$; для дифференцируемого в точке ${\displaystyle x_{0}}$ отображения ${\displaystyle f}$ матрица Якоби есть линейная часть этого отображения:

${\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\mathbf {J} _{f}(x_{0})h+o(\mid \mid h\mid \mid ),}$ (*)

причём если линейное отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, заданное матрицей Якоби, осуществляет мономорфизм (эпиморфизм или изоморфизм), то существуют такие окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x_{0}}\subset X}$ точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{f(x_{0})}}$ точки ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$, что отображение ${\displaystyle f:{\mathcal {U}}_{x_{0}}\to {\mathcal {V}}_{f(x_{0})}}$ инъективно (соответственно, сюръективно или биективно), иными словами, дифференцируемое отображение локально наследует свойства инъективности, сюръективности и биективности своей линейной части (см. также Неявная функция). Выражение ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}(x_{0})h}$ в (*) называют дифференциалом отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ при приращении ${\displaystyle h}$.

Матрица Якоби сохраняет многие свойства производной функции, например, для композиции отображений справедлив аналог утверждения о производной композиции функций: пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ дифференцируемо в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$ дифференцируемо в точке ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$. Тогда

${\displaystyle \mathbf {J} _{g\circ f}(x_{0})=\mathbf {J} _{g}(f(x_{0}))\mathbf {J} _{f}(x_{0})}$.

В частном случае ${\displaystyle m=1}$ матрицу Якоби отображения ${\displaystyle f}$ называют также градиентом функции ${\displaystyle f}$.

Важнейшее (в том числе для приложений) значение имеет определитель матрицы Якоби в случае ${\displaystyle m=n}$.