Градиент

Градие́нт, вектор, характеризующий величину и направление наибольшего роста функции. Точнее, градиент действительной функции ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$, дифференцируемой в некоторой области пространства, – вектор, обозначаемый ${\displaystyle {\textrm {grad}}\,\phi }$ с координатами (${\displaystyle \partial \phi /\partial x}$,${\displaystyle \partial \phi /\partial y}$,${\displaystyle \partial \phi /\partial z}$). Градиент направлен по нормали к поверхности уровня функции ${\displaystyle \phi }$, длина градиента равна максимальному значению производной функции по направлению в данной точке.

Многие свойства градиента аналогичны свойствам производной функции одной переменной. Например, если ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi }$ – дифференцируемые функции в пространстве, а ${\displaystyle f}$ – дифференцируемая функция одной переменной, то

${\displaystyle {\textrm {grad}}\,(\phi +\psi )={\textrm {grad}}\,\phi +{\textrm {grad}}\,\psi ,}$
${\displaystyle {\textrm {grad}}\,(\phi \psi )=\phi \,{\textrm {grad}}\,\psi +\psi \,{\textrm {grad}}\,\phi ,}$
${\displaystyle {\textrm {grad}}\,f(\phi )=f'(\phi ){\textrm {grad}}\,(\phi )}$.

Аналогично определяется градиент функции ${\displaystyle m}$ переменных ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{m})}$, ${\displaystyle m\geqslant 2}$, – как вектор с координатами (${\displaystyle \partial \phi /\partial x_{1}}$, ${\displaystyle \ldots }$, ${\displaystyle \partial \phi /\partial x_{m}}$).

Понятие «градиента» широко используется в физике, метеорологии, океанологии и других дисциплинах. Термин «градиент» и обозначение ${\displaystyle {\textrm {grad}}}$ ввёл Дж. Максвелл (1873).

См. также Векторное исчисление.