Математические знаки

Математи́ческие зна́ки, условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. Развитие математических знаков (математической символики) связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми математическими знаками были знаки для изображения чисел – цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало появлению письменности. Наиболее древние системы нумерации и счисления – вавилонская и египетская – появились ещё за 2500–3000 лет до н. э.

Первые математические знаки для произвольных величин появились в 5–4 вв. до н. э. в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух однородных величин – в виде прямоугольника, построенного из отрезков, соответствующих этим величинам. В «Началах» Евклида величины обозначались двумя буквами, соответствующими началу и концу отрезка, а иногда и одной буквой. У Архимеда последний способ стал обычным. Такие обозначения содержали в себе возможности развития буквенного исчисления, однако в античной математике буквенное исчисление не было создано, только в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы появились начала буквенного изображения величин и операций над ними.

Создание современной алгебраической символики относится к 14–17 вв.; оно связано с потребностями практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах независимо друг от друга появлялись математические знаки для действий над величинами. Проходили многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывался тот или иной удобный математический знак. Так, в конце 15 в. французский учёный Н. Шюке и итальянский математик Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания ${\displaystyle {\widetilde {p}}\;{\text{и}}\;{\widetilde {m}}}$ (от латинского plus и minus), немецкий математик Я. Видман ввёл знаки + и –. В 17 в. использовалось около десятка математических знаков для обозначения умножения (среди них были ${\displaystyle \cdot }$ и ${\displaystyle \times }$). Из современных знаков деления старейшим является горизонтальная черта, которая встречалась у Леонардо Пизанского. Различными были математические знаки для обозначения неизвестной и её степеней. Так, в 16 – начале 17 вв. конкурировало более 10 обозначений для квадрата неизвестной, в числе которых были ${\displaystyle A(2),a^{ii},aa\;{\text{и}}\;a^{2}}$. Использование буквы ${\displaystyle x}$ для неизвестной величины, вероятно, произошло от арабского слова shei – «вещь», которое в Средние века писалось по-латыни xei, а затем сократилось до ${\displaystyle x}$.

В 16 и начале 17 вв. вошли в употребление знаки равенства у английского учёного Р. Рекорда (1557), квадратные скобки у итальянского математика Р. Бомбелли (1550), круглые скобки у Н. Тартальи (1556), фигурные скобки у Ф. Виета (1593).

Шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) математических знаков для постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита и прописных гласных букв для неизвестных, что дало ему возможность записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать с уравнениями. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними строчными буквами латинского алфавита ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, а постоянные величины – начальными буквами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$. Ему же принадлежит современная запись степени. Обозначения Декарта обладали существенными преимуществами по сравнению со всеми предыдущими, поэтому они получили всеобщее распространение.

Дальнейшее развитие математических знаков связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже подготовлена в алгебре. И. Ньютон (1666) ввёл знаки для последовательных производных функции ${\displaystyle y}$ в виде ${\displaystyle {\dot {y}},\,{\ddot {y}}}$${\displaystyle ,{\overset {...}{y}}}$. Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ${\displaystyle \infty }$.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. В. Лейбниц. Он первым понял огромное значение математических знаков и старался найти наиболее удобные символы для записи понятий математики. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне математические знаки дифференциалов ${\displaystyle dx,\;dy,\;d^{2}y,\;d^{3}y}$ и интеграла ${\displaystyle \int y\,dx}$.

Важная роль в создании символики современной математики принадлежит Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, а именно – знак функции ${\displaystyle f(x)}$. И. Бернулли (1718) для обозначения функции применял знак ${\displaystyle \phi x}$. После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели вид, который сохранился до настоящего времени. Эйлер ввёл обозначения постоянных ${\displaystyle e}$ (основание натуральных логарифмов, 1736), ${\displaystyle \pi }$ (1736), мнимой единицы ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ (1777, опубликовано в 1794), которые стали общеупотребительными.

В 19 в. роль символики возрастает и наряду с созданием новых математических знаков математики стремились к стандартизации основных символов. Некоторые широко употребимые ныне математические знаки появились в это время, например знаки абсолютной величины ${\displaystyle |x|}$ (К. Вейерштрасс, 1841), определителя и матрицы (А. Кэли, 1841), вектора ${\displaystyle {\overline {r}}}$ (О. Коши, 1853), дифференциальных операций rot и div (английский математик У. Клиффорд, 1878). Многие теории, возникшие в 19 в., например тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики. Даты возникновения некоторых современных математических знаков см. в таблице.Математические знаки

Знак	Название	Кем и когда введён	Знак	Название	Кем и когда введён
Знаки индивидуальных объектов			${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$	частная производная	А. Лежандр, 1786
${\displaystyle \infty }$	бесконечность	Дж. Валлис, 1655	${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$	определённый интеграл	Ж. Фурье, 1819-22
${\displaystyle \pi }$	отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс, 1706; Л. Эйлер, 1736	${\displaystyle \sum }$	сумма	Л. Эйлер, 1755
${\displaystyle e}$	основание натуральных логарифмов	Л. Эйлер, 1736	${\displaystyle \prod }$	произведение	К. Гаусс, 1812
${\displaystyle i}$	квадратный корень из ${\displaystyle -1}$	Л. Эйлер, 1777 (опубл. в 1794)	${\displaystyle !}$	факториал	К. Крамп, 1808
${\displaystyle i,j,k}$	единичные векторы	У. Гамильтон, 1853	${\displaystyle [x]}$	целая часть	К. Гаусс, 1808
Знаки переменных объектов			${\displaystyle |x|}$	модуль	К. Вейерштрасс, 1841
${\displaystyle x,y,z}$	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт, 1637	${\displaystyle \|x\|}$	норма	С. Люилье, 1786; Э. Шмидт, 1908
${\displaystyle {\overset {\rightarrow }{r}}}$	вектор	О. Коши, 1853	${\displaystyle \lim ,\lim \limits _{n\to \infty }}$	предел	У. Гамильтон, 1853
Знаки индивидуальных операций			${\displaystyle \Gamma }$	гамма-функция	А. Лежандр, 1808
${\displaystyle +,-}$	сложение, вычитание	Я. Видман, 1489	${\displaystyle \mathrm {B} }$	бета-функция	Ж. Бине, 1839
${\displaystyle \times }$	умножение	У. Оутред, 1631	${\displaystyle \zeta }$	дзета-функция	Б. Риман, 1857
${\displaystyle \cdot }$	умножение	Г. В. Лейбниц, 1698	${\displaystyle \Delta }$	дельта (оператор Лапласа)	Р. Мёрфи, 1833
${\displaystyle :}$	деление	Г. В. Лейбниц, 1684	${\displaystyle \nabla }$	набла (оператор Гамильтона)	У. Гамильтон, 1853
${\displaystyle a^{2},a^{3},\ldots ,a^{n}}$	степени	Р. Декарт, 1637; И. Ньютон, 1676	${\displaystyle \operatorname {div} ,\operatorname {rot} }$	дивергенция, вихрь (ротор) векторного поля	У. Клиффорд, 1878
${\displaystyle {\sqrt[{}]{}},{\sqrt[{3}]{}},\ldots }$	корни	К. Рудольф, 1525	Знаки переменных операций
${\displaystyle {\text{Log}},\log }$	логарифм	И. Кеплер, 1624; Б. Кавальери, 1632	${\displaystyle \varphi (x),f(x)}$	функция	И. Бернулли, 1718; Л. Эйлер, 1734
${\displaystyle \ln }$	натуральный логарифм	А. Принсхейм, 1893	Знаки индивидуальных отношений
${\displaystyle \sin ,\cos ;\operatorname {tg} }$	синус, косинус, тангенс	Л. Эйлер, 1748; 1753	${\displaystyle =}$	равенство	Р. Рекорд, 1557
${\displaystyle \arcsin }$	арксинус	Ж. Лагранж, 1772	${\displaystyle \approx }$	приблизительно, равно	А. Гюнтер, 1882
${\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} }$	гиперболический синус, гиперболический косинус	В. Риккати, 1757	${\displaystyle >,<}$	больше, меньше	Т. Гарриот, 1631
${\displaystyle dx,dy,d^{2}y,\ldots }$	дифференциал	Г. В. Лейбниц, 1675 (опубл. в 1684)	${\displaystyle \equiv }$	сравнимость	К. Гаусс, 1801
${\displaystyle \int y\,dx}$	неопределённый интеграл	Г. В. Лейбниц, 1675 (опубл. в 1686)	${\displaystyle \equiv }$	тождество	Б. Риман, 1857
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$	дифференцирование	Г. В. Лейбниц, 1675	${\displaystyle ||}$	параллельность	У. Оутред (опубл. в 1677)
${\displaystyle {\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$	производные	И. Ньютон, 1666	${\displaystyle \perp }$	перпендикулярность	П. Эригон, 1634
${\displaystyle f'(x);y'}$	производная	Ж. Лагранж, 1770; 1779	${\displaystyle \cup ,\cap }$	объединение, пересечение	Дж. Пеано, 1888
${\displaystyle \Delta x}$	разность, приращение	Л. Эйлер, 1755	${\displaystyle \subset ,\supset }$	содержится, включается	Э. Шрёдер, 1890
			${\displaystyle \in }$	принадлежность	Дж. Пеано, 1895

Среди математических знаков можно выделить следующие основные группы: а) знаки объектов, б) знаки операций, в) знаки отношений. Например, знаки ${\displaystyle 1,2,3,4}$ обозначают объекты, являющиеся числами. Знак операции сложения ${\displaystyle +}$ сам по себе не обозначает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются, например ${\displaystyle 1+3}$. Знак ${\displaystyle >}$ (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает определённое содержание, когда указано, отношение между какими объектами рассматривается. К перечисленным трём основным группам математических знаков примыкает четвёртая группа г) вспомогательных знаков, устанавливающих порядок сочетания основных знаков. Представление о знаках этой группы дают скобки, указывающие порядок действий.

Знаки каждой из трёх основных групп бывают двух родов: индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений; общие знаки переменных (или неизвестных) объектов, операций и отношений. Примерами знаков 1-го рода являются: ${\displaystyle {\text{а}}_{1})}$ обозначения натуральных чисел ${\displaystyle 1,2,\ldots }$; трансцендентных чисел ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$, мнимой единицы ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$; ${\displaystyle {\text{б}}_{1})}$ знаки арифметических действий ${\displaystyle +}$, ${\displaystyle -}$, ${\displaystyle \times }$, ${\displaystyle \div }$; извлечения корня ; дифференцирования ${\displaystyle d/dx}$; знаки индивидуальных функций ${\displaystyle \sin ,\,\operatorname {tg} }$, ${\displaystyle \log }$; ${\displaystyle {\text{в}}_{1})}$ знаки равенства ${\displaystyle =}$ и неравенства ${\displaystyle >}$, ${\displaystyle <}$, ${\displaystyle \neq }$, знаки параллельности ${\displaystyle \|}$ и перпендикулярности ${\displaystyle \perp }$.

Примерами знаков 2-го рода являются: ${\displaystyle {\text{а}}_{2})}$ обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии; ${\displaystyle {\text{б}}_{2})}$ обозначения ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \phi }$ для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой ${\displaystyle L}$ изображают, например, произвольный оператор вида

${\displaystyle {\begin{aligned}L[y]=a_{0}+a_{1}{\frac {dy}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots +a_{n}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\end{aligned}}}$.

Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике и в сравнительно абстрактных, преимущественно аксиоматических, математических исследованиях.