Счисление

Счисле́ние, совокупность приёмов представления и обозначения натуральных чисел. Наиболее совершенным принципом представления натуральных чисел является позиционный (поместный), согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число ${\displaystyle n}$ единиц (основание системы счисления) объединяются в одну единицу второго разряда, ${\displaystyle n}$ единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число, большее единицы. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием ${\displaystyle n=10}$). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры ${\displaystyle 0,1,2,...,9}$.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы счисления, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы счисления связывают со счётом на пальцах. Имелись системы счисления и с другими основаниями: ${\displaystyle 5,12}$ (счёт дюжинами), ${\displaystyle 20}$ (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre-vingts, т. е. буквально четыре-двадцать означает ${\displaystyle 80}$), ${\displaystyle 40,60}$ и т. д. При вычислениях на ЭВМ часто применяется система счисления с основанием ${\displaystyle 2}$ (двоичная система счисления).

Современная десятичная позиционная система счисления возникла не позднее 5 в. в Индии, она даёт принципиальную возможность записывать сколь угодно большие натуральные числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для проведения арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система счисления начала распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 в. появились рукописи на арабском языке, в которых она излагалась, в 10 в. она дошла до Испании, в начале 12 в. появилась и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской, потому что в Европе с ней впервые познакомились по латинским переводам с арабского языка. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начала распространяться в 17 в. и в самом начале 18 в. вытеснила т. н. алфавитную систему счисления. С введением десятичных дробей десятичная позиционная система счисления стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.