Критическая точка в математике

Крити́ческая то́чка, 1) критическая точка порядка ${\displaystyle m}$, такая точка ${\displaystyle a}$ комплексной плоскости, в которой аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ регулярна, а её производная ${\displaystyle f^{\prime }(z)}$ имеет нуль порядка ${\displaystyle m}$, где ${\displaystyle m}$ – натуральное число. Иными словами, критическая точка определяется условиями:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}{\frac {f(z)-f(a)}{(z-a)^{m}}}=0,\quad \lim _{z\rightarrow a}{\frac {f(z)-f(a)}{(z-a)^{m+1}}}\neq 0}$.

Бесконечно удалённая критическая точка ${\displaystyle a=\infty }$ порядка ${\displaystyle m}$ для функции ${\displaystyle f(z)}$, регулярной в бесконечности, определяется условиями:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }[f(z)-f(\infty )]z^{m}=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }[f(z)-f(\infty )]z^{m+1}\neq 0}$.

При аналитическом отображении ${\displaystyle w=f(z)}$ угол между двумя кривыми, выходящими из критической точки порядка ${\displaystyle m}$, увеличивается в ${\displaystyle m+1}$ раз. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ рассматривается как комплексный потенциал некоторого плоского течения несжимаемой жидкости, то критическая точка характерна тем, что через неё проходит не одна, а ${\displaystyle m+1}$ линий тока, причём скорость течения в критической точке обращается в нуль. Для обратной функции ${\displaystyle z=\psi (w)}$ такой, что ${\displaystyle f[\psi (w)]\equiv w}$, критическая точка ${\displaystyle a}$ является алгебраической точкой ветвления порядка ${\displaystyle m+1}$.

2) Точка ${\displaystyle a}$ комплексного ${\displaystyle (n-m)}$-мерного неприводимого аналитического множества

${\displaystyle M=\left\{z\in V;f_{1}(z)=f_{2}(z)=\ldots =f_{m}(z)=0\right\}}$,

заданного в окрестности ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle a}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ условиями ${\displaystyle f_{1}(z)=f_{2}(z)=\ldots =f_{m}(z)=0}$, где ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}}$ – голоморфные на ${\displaystyle V}$ функции ${\displaystyle n}$ комплексных переменных, ${\displaystyle z=\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right)}$ называются критическими точками, если ранг матрицы Якоби ${\displaystyle \left\|\partial f_{j}/\partial z_{k}\right\|}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$; ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, меньше числа ${\displaystyle m}$. Прочие точки ${\displaystyle M}$ называются правильными. Критических точек на ${\displaystyle M}$ сравнительно мало – они образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше ${\displaystyle n-m-1}$. В частности, при ${\displaystyle m=1}$, т. е. если ${\displaystyle M=\left\{f_{1}(z)=0\right\}}$ и размерность ${\displaystyle M}$ равна ${\displaystyle n-1}$, размерность множества критических точек не выше ${\displaystyle n-2}$.

3) Критическая точка гладкого (т. е. непрерывно дифференцируемого) отображения ${\displaystyle fk}$-мерного дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle l}$-мерное дифференцируемое многообразие ${\displaystyle N}$ – такая точка ${\displaystyle x_{0}\in M}$, что ранг ${\displaystyle \mathrm {Rk} _{x_{0}}f}$ отображения ${\displaystyle f}$ в этой точке (т. е. размерность образа ${\displaystyle df\left(T_{x_{0}}M\right)}$ касательного пространства к ${\displaystyle M}$ под действием дифференциала ${\displaystyle df:T_{x_{0}}M\rightarrow T_{f\left(x_{0}\right)}N}$) меньше ${\displaystyle l}$. Совокупность всех критических точек называется критическим множеством, образ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ критической точки ${\displaystyle x_{0}}$ – критическим значением, а точка ${\displaystyle y\in N}$, не являющаяся образом никакой критической точки, – регулярной точкой, или регулярным значением (хотя она может вообще не принадлежать образу ${\displaystyle f(M)}$); некритические точки из ${\displaystyle M}$ тоже называются регулярными.

Согласно теореме Сарда, если ${\displaystyle f}$ имеет класс гладкости ${\displaystyle C^{m}}$, ${\displaystyle m>\min(k-l,0)}$, то образ критического множества имеет первую категорию в ${\displaystyle N}$ (т. е. является объединением не более чем счётной системы нигде не плотных множеств) и имеет ${\displaystyle l}$-мерную меру нуль (см. ^[1]; ^[2]). Условие на ${\displaystyle m}$ не может быть ослаблено (^[3]). Чаще всего бывает нужен случай ${\displaystyle m=\infty }$ (при этом доказательство упрощается, см. ^[4]). Эта теорема широко используется для приведения в общее положение посредством «малых шевелений»; например, с её помощью легко доказать, что если в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеются два гладких подмногообразия, то сколь угодно малым сдвигом одного из них можно достичь, чтобы их пересечение тоже было подмногообразием (см. Стернберг. 1970; Милнор. 1997, а также Tрансверсальность отображений).

Согласно приведённому определению, при ${\displaystyle k<l}$ каждую точку ${\displaystyle x_{0}\in M}$ надо считать критической. Но при этом существенно различаются свойства тех точек ${\displaystyle x_{0}}$, для которых ${\displaystyle \mathrm {R} \mathrm {k} _{x_{0}}f=k}$, и тех, для которых ${\displaystyle \mathrm {Rk} _{x_{0}}f<k}$. В первом случае в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ отображение ${\displaystyle f}$ выглядит приблизительно как стандартное вложение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$; точнее, имеются такие локальные координаты ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ вблизи ${\displaystyle x_{0}}$ (на ${\displaystyle M}$) и ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{l}}$ вблизи ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ (на ${\displaystyle N}$), что в этих координатах ${\displaystyle f}$ представляется в виде

${\displaystyle y_{i}=x_{i},\quad i\leqslant k;\quad y_{k+1}=\ldots =y_{l}=0{\text{. }}}$

Во втором случае образ окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ может не быть многообразием, а иметь различные особенности – заострения, самопересечения и т. д. Поэтому определение критической точки часто модифицируют, понимая под критическими точками те точки ${\displaystyle x_{0}}$, для которых ${\displaystyle \mathrm {Rk} _{x_{0}}f<\min(k,l)}$; соответственно модифицируется и смысл других приведённых выше терминов (^[5]).

Поведение отображений в окрестности критических точек изучается в теории особенностей дифференцируемых отображений (см. Голубицкий. 1977; ^[6]). При этом рассматриваются не произвольные критические точки (о которых мало что можно сказать), а критические точки, удовлетворяющие условиям «не слишком сильной вырожденности» и «типичности». Так, рассматриваются критические точки достаточно гладких отображений или семейств отображений (достаточно гладко зависящих от конечного числа параметров), являющиеся «неустранимыми» в том смысле, что при малом (в смысле ${\displaystyle C^{m}}$ с подходящим ${\displaystyle m}$) возмущении исходного отображения или семейства у возмущённого отображения (семейства) в некоторой окрестности исходной критической точки имеется критическая точка того же типа. Для отображения ${\displaystyle M\rightarrow \mathbb {R} }$ (т. е. обычной скалярной функции; в этом случае критические точки часто называют стационарными точками) типичными в указанном смысле являются т. н. невырожденные критические точки, в которых гессиан – невырожденная квадратичная форма (о типичных критических точках для семейства функций см. Брекер. 1977; Арнольд. 1972).