Трансверсальность

Трансверса́льность, общее название для некоторых свойств общего положения, понятие линейной алгебры, дифференциальной и геометрической топологии.

а) Два векторных подпространства ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ конечномерного векторного пространства ${\displaystyle C}$ трансверсальны друг к другу, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ порождают ${\displaystyle C}$, т. е.

${\displaystyle \operatorname {dim} A\cap B+\operatorname {dim} C=\operatorname {dim} A+\operatorname {dim} B}$.

б) В дифференцируемой ситуации два подмногообразия ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$ многообразия ${\displaystyle N}$ трансверсальны в точке ${\displaystyle x\in L\cap M}$, если касательные пространства в этой точке ${\displaystyle T_{x}L}$, ${\displaystyle T_{x}M}$ порождают ${\displaystyle T_{x}N}$. Геометрически (для подмногообразий в узком смысле слова и без края) это означает, что в ${\displaystyle N}$ можно ввести такие локальные координаты ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, в терминах которых ${\displaystyle L\cap U}$ и ${\displaystyle M\cap U}$ представляются как трансверсальные векторные подпространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Отображение ${\displaystyle {{\ce {f: L -> N}}}}$ трансверсально к подмногообразию ${\displaystyle M\subset N}$ в точке ${\displaystyle x\in f^{-1}(M)}$, если образ ${\displaystyle T_{x}L}$ под действием ${\displaystyle f}$ трансверсален к ${\displaystyle T_{f(x)}M}$ в ${\displaystyle T_{f(x)}N}$. Отображения ${\displaystyle {{\ce {f: L -> N}}}}$ и ${\displaystyle {{\ce {g: M -> N}}}}$ трансверсальны друг к другу в точке ${\displaystyle (x,y)\in L\times M}$, где ${\displaystyle f(x)=g(y)}$, если образы ${\displaystyle T_{x}L}$ и ${\displaystyle T_{y}M}$ порождают ${\displaystyle T_{f(x)}{}N}$. Последние два определения тоже перефразируются (Ленг. 1967^[1]): говорят, что ${\displaystyle L}$ трансверсально к ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle f}$ – к ${\displaystyle M}$ (более старый термин: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$-регулярно вдоль ${\displaystyle M}$) и ${\displaystyle f}$ – к ${\displaystyle g}$, если соответствующая трансверсальность имеет место во всех точках, для которых о ней можно говорить. Эти понятия легко сводятся друг к другу, например трансверсальность ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ эквивалентна трансверсальности тождественных вложений ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle N}$. Употребительна запись типа ${\displaystyle L\psi _{x}M}$, ${\displaystyle f\psi M}$ и т. д.

Для трансверсальности многообразий с краем иногда целесообразно дополнительно потребовать выполнения некоторых условий (см. Рохлин. 1977^[2]). Трансверсальность переносится и на бесконечномерный случай (см. Ленг. 1967; Бурбаки. 1975^[3]).

Во всех этих случаях роль трансверсальности связана с её «типичностью» и с «хорошими» свойствами пересечения ${\displaystyle L\cap M}$, прообразов ${\displaystyle f^{-1}(M)}$ и тому подобных объектов (которые к тому же «хорошо» деформируются, если при деформациях исходных объектов сохраняется трансверсальность) (см. Хирш. 1979^[4]).

в) В кусочно-линейной и топологических ситуациях можно определить трансверсальность подмногообразий по аналогии с геометрическим определением в б) (особенно употребителен кусочно-линейный вариант для подмногообразий дополнительной размерности, см. работу Рурк. 1974^[5]). Вообще говоря, полной аналогии со свойствами трансверсальности из б) не получается (Рурк. 1974, Hudson. 1969^[6]), поэтому предложены более ограничительные модификации трансверсальности (см. Lickorish. 1969^[7]; Mаrin. 1977^[8]).

Наконец, говорят, что какая-то категория многообразий обладает свойством трансверсальности, если в ней любое отображение аппроксимируется трансверсальным отображением.