Гессиан

Гессиа́н функции ${\displaystyle f}$, квадратичная форма

${\displaystyle H(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

или

${\displaystyle H(z)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}z_{i}{\bar {z}}_{j}}$,

где ${\displaystyle a_{ij}=\partial ^{2}f(p)/\partial x_{i}\partial x_{j}}$ (или ${\displaystyle \partial ^{2}f(p)/\partial z_{i}\partial {\overline {z_{j}}}}$) и ${\displaystyle f(p)}$ задана на ${\displaystyle n}$-мерном действительном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (или комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) с координатами ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ (или ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$). Введён О. Гессе (1844). С помощью локальной системы координат это определение переносится на функции, определённые на действительном многообразии класса ${\displaystyle C^{2}}$ (или на комплексном пространстве). В обоих случаях гессиан – квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не зависящая от выбора системы координат. В теории Морса через гессиан определяются понятия (не)вырожденной критической точки, формы Морса и формы Ботта. В комплексном анализе гессиан участвует в определении псевдовыпуклой области и плюрисубгармонической функции.