Космологическое расстояние

Космологи́ческое расстоя́ние, расстояние до астрономического объекта ${\displaystyle l_{c}}$, определяемое как произведение лагранжева расстояния ${\displaystyle r_{e}}$ до этого объекта на масштабный фактор в настоящий момент времени ${\displaystyle a(t_{0})\!:}$

${\displaystyle \displaystyle l_{c}=a(t_{0})\,r_{e}}$.

Лагранжево расстояние ${\displaystyle r_{e}}$ (расстояние в лагранжевых координатах) вычисляется следующим образом. Луч света в расширяющейся Вселенной движется по геодезической линии (в случае евклидовой Вселенной это прямая линия) согласно уравнению теории относительности

${\displaystyle ds=0.}$ (1)

Здесь ${\displaystyle ds\ -}$ определяемый в теории относительности четырёхмерный интервал, квадрат которого остаётся постоянным при изменении системы отсчёта. Для случая однородного и изотропного пространства-времени (метрика Фридмана)

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}(t)\!\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!{\theta }\,d\varphi ^{2}\right)\right]\!.}$ (2)

Здесь ${\displaystyle c\ -}$ скорость света в вакууме; ${\displaystyle a(t)\ -}$ масштабный фактор, имеющий размерность длины; ${\displaystyle r,\,\theta ,\,\varphi \ -}$ пространственные координаты в сферической системе координат (причём ${\displaystyle r\ -}$ безразмерная координата); ${\displaystyle t\ -}$ время; ${\displaystyle k\ -}$ постоянная кривизны (параметр, характеризующий пространство постоянной кривизны).

Если предположить (без ограничения общности), что наблюдатель находится в центре сферической системы координат, а луч света движется вдоль радиальной координаты от источника к наблюдателю, то изменения угловых переменных равны нулю. Если постоянная кривизны ${\displaystyle k=0}$ (что соответствует современным наблюдательным данным), то из формул (1) и (2) следует

${\displaystyle cdt=-\,a(t)\,dr}$.

При этом выбран знак «минус», поскольку при увеличении времени расстояние от луча света до наблюдателя уменьшается. Путём интегрирования этой формулы получается:

${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{t_{e}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}={\frac {r_{e}-r_{0}}{c}}}$.

Здесь ${\displaystyle r_{0}=0\ -}$ положение наблюдателя, ${\displaystyle r_{e}\ -}$ лагранжево расстояние до источника света, ${\displaystyle t_{e}}$ и ${\displaystyle t_{0}\ -}$ моменты времени, когда свет был испущен источником и принят наблюдателем соответственно. Таким образом, лагранжево расстояние определяется масштабным фактором. Последний, в свою очередь, определяется современными значениями космологических параметров. Масштабный фактор связан с космологическим красным смещением ${\displaystyle z}$ соотношением

${\displaystyle \displaystyle a(t)={\frac {a_{0}}{1+z}}}$,

где ${\displaystyle a_{0}\equiv a(t_{0})\ -}$ современное значение масштабного фактора (при ${\displaystyle z\!=\!0}$).

Из первого уравнения Фридмана определяется параметр Хаббла

${\displaystyle \displaystyle H^{2}\equiv {\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}=H_{0}^{2}\left[\Omega _{m0}\!\left(1+z\right)^{3}+\Omega _{q0}+\Omega _{r0}\!\left(1+z\right)^{4}\right]\!}$,

и космологическое расстояние ${\displaystyle l_{c}}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \displaystyle l_{c}={\frac {c}{H_{0}}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {d\zeta }{\sqrt {\Omega _{m0}\!\left(1+\zeta \right)^{3}+\Omega _{q0}+\Omega _{r0}\!\left(1+\zeta \right)^{4}}}}}$.

Здесь ${\displaystyle H_{0}\ -}$ современное значение параметра Хаббла; ${\displaystyle \Omega _{m0}}$, ${\displaystyle \Omega _{q0}}$, ${\displaystyle \Omega _{r0}\,-}$ безразмерные параметры плотности нерелятивистской материи (включающей обычное барионное вещество и холодную тёмную материю), тёмной энергии и релятивистской материи (излучения) соответственно, получаемые в рамках стандартной космологической модели; ${\displaystyle \zeta \,-}$ переменная интегрирования. Космологическое расстояние является монотонно возрастающей функцией красного смещения, которая при ${\displaystyle z\!>\!40}$ выходит на почти постоянное значение.

На рис. 1 приведён график зависимости космологического расстояния ${\displaystyle l_{c}}$ от красного смещения ${\displaystyle z}$, построенный при следующих значениях космологических параметров: ${\displaystyle \Omega _{m0}\!=\!0,\!308}$, ${\displaystyle \Omega _{q0}\!=\!0,\!692}$, ${\displaystyle \Omega _{r0}\!=\!9\!\cdot \!10^{-5}}$, ${\displaystyle H_{0}=67,\!81\ {\text{км}}/({\text{с}}\!\cdot \!{\text{Мпк}})}$, ${\displaystyle c/H_{0}=4,\!48\ {\text{Гпк}}}$.

По величине космологического расстояния вычисляются другие два вида расстояния, используемые в космологии, – болометрическое расстояние ${\displaystyle l_{b}}$ и расстояние по угловому размеру ${\displaystyle l_{a}}$. Связь между ними задаётся соотношением:

${\displaystyle \displaystyle l_{c}={\sqrt {l_{a}l_{b}}}}$.

На рис. 2 приведены графики зависимости этих трёх видов расстояния от красного смещения ${\displaystyle z}$ при тех же значениях космологических параметров, что и на рис. 1.