Расстояние по угловому размеру

Расстоя́ние по углово́му разме́ру (угловое расстояние, угломерное расстояние), расстояние до астрономического объекта ${\displaystyle l_{a}}$, которое определяется как отношение физического размера наблюдаемого объекта ${\displaystyle l_{\text{физ}}}$ к углу ${\displaystyle \Delta \varphi }$, под которым он наблюдается (т. е. его угловому размеру):

${\displaystyle \displaystyle l_{a}={\frac {l_{\text{физ}}}{\Delta \varphi }}}$.

Физический размер объекта равен ${\displaystyle l_{\text{физ}}=a(t_{e})\,r_{e}\,\Delta \phi }$, где ${\displaystyle t_{e}\ -}$ момент времени, когда излучение было испущено объектом, ${\displaystyle a(t_{e})\ -}$ масштабный фактор в момент излучения, ${\displaystyle r_{e}\ -}$ лагранжева координата излучающего объекта. Угловое расстояние можно выразить через космологическое расстояние как

${\displaystyle \displaystyle l_{a}=a\left(t_{e}\right)r_{e}={\frac {a\left(t_{e}\right)}{a\left(t_{0}\right)}}\,a\left(t_{0}\right)r_{e}={\frac {a\left(t_{e}\right)}{a\left(t_{0}\right)}}\,l_{c}}$,

где ${\displaystyle t_{0}\ -}$ момент наблюдения, ${\displaystyle a(t_{0})\ -}$ масштабный фактор в момент наблюдения, ${\displaystyle l_{c}=a\left(t_{0}\right)r_{e}\ -}$ космологическое расстояние. Используя определение масштабного фактора через космологическое красное смещение ${\displaystyle z}$, получаем формулу для определения углового расстояния:

${\displaystyle \displaystyle l_{a}={\frac {l_{c}}{1+z}}}$.

Космологическое расстояние ${\displaystyle l_{c}}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \displaystyle l_{c}={\frac {c}{H_{0}}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {d\zeta }{\sqrt {\Omega _{m0}\left(1+\zeta \right)^{3}+\Omega _{q0}+\Omega _{r0}\left(1+\zeta \right)^{4}}}}}$.

Здесь ${\displaystyle c\ -}$ скорость света в вакууме; ${\displaystyle H_{0}\ -}$ современное значение параметра Хаббла; ${\displaystyle \Omega _{m0}}$, ${\displaystyle \Omega _{q0}}$, ${\displaystyle \Omega _{r0}\ -}$ безразмерные параметры плотности нерелятивистской материи (включающей обычное барионное вещество и холодную тёмную материю), тёмной энергии и релятивистской материи (излучения) соответственно, получаемые в рамках cтандартной космологической модели; ${\displaystyle \zeta \,-}$ переменная интегрирования.

На рис. 1 приведён график зависимости расстояния по угловому размеру ${\displaystyle l_{a}}$ от красного смещения ${\displaystyle z}$, построенный при следующих значениях космологических параметров: ${\displaystyle \Omega _{m0}\!=\!0,\!308}$, ${\displaystyle \Omega _{q0}\!=\!0,\!692}$, ${\displaystyle \Omega _{r0}\!=\!9\!\cdot \!10^{-5}}$, параметр Хаббла ${\displaystyle H_{0}=67,\!81\ {\text{км}}/({\text{с}}\!\cdot \!{\text{Мпк}})}$, ${\displaystyle c/H_{0}=4,\!48\ {\text{Гпк}}}$ (где ${\displaystyle c\ -}$ скорость света в вакууме).

Расстояние по угловому размеру, в отличие от монотонно растущих с увеличением красного смещения ${\displaystyle z}$ космологического и болометрического расстояний, обладает максимумом. Положение максимума определяется величинами космологических параметров и, согласно современным наблюдательным данным, соответствует ${\displaystyle z\approx 1,\!588}$ (рис. 1). Таким образом, во Вселенной космические объекты с красным смещением 1,588 имеют максимальное угловое расстояние ${\displaystyle l_{a}\approx 1,\!817\ {\text{Гпк}}}$.

Связь между расстоянием по угловому размеру ${\displaystyle l_{a}}$, болометрическим расстоянием ${\displaystyle l_{b}}$ и космологическим расстоянием ${\displaystyle l_{c}}$ задаётся соотношением:

${\displaystyle \displaystyle l_{c}={\sqrt {l_{a}l_{b}}}}$.

На рис. 2 приведены графики зависимости этих трёх видов расстояния от красного смещения ${\displaystyle z}$ при тех же значениях космологических параметров, что и на рис. 1.