Космологические параметры

Первый космологический параметр – это параметр Хаббла ${\displaystyle H}$, определяемый как логарифмическая производная масштабного фактора по времени:

${\displaystyle \displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$,

где ${\displaystyle a}$ – масштабный фактор, точка над символом означает производную по времени. Этот глобальный параметр впервые был измерен Э. Хабблом как коэффициент пропорциональности в законе Хаббла, связывающий скорость убегания внегалактического объекта и расстояние до него :

${\displaystyle v=Hr}$.

Эта формула справедлива только для малых значений космологического красного смещения, т. е. для небольших расстояний ${\displaystyle r}$. Для значения параметра Хаббла в современную эпоху используется обозначение ${\displaystyle H_{0}}$ или ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \displaystyle h={\frac {H_{0}}{100\ {\text{км}}/({\text{с}}\cdot {\text{Мпк}})}}}$.

Для определения современного значения параметра Хаббла используется шкала космических расстояний. Параметр Хаббла измеряется несколькими способами: по сверхновым звёздам Iа типа, по цефеидам, по красным гигантам, методом Талли – Фишера, по относительной временно́й задержке изменений кривых блеска различных изображений источника при гравитационном линзировании, а также выводится из данных наблюдений анизотропии реликтового излучения. Численные значения параметра Хаббла, измеренные разными методами, значимо различаются. Причины этого являются предметом дискуссий среди космологов. В таблице 1 приведены значения параметра Хаббла, измеренные некоторыми из этих методов в наиболее авторитетных исследованиях (значения, которые получены позже теми же методами, отличаются от приведённых, но не совпадают между собой даже в пределах ошибок).

Второй космологический параметр – параметр плотности Вселенной ${\displaystyle \Omega }$, который определяется как отношение суммарной средней плотности материи во Вселенной к критической плотности:

${\displaystyle \displaystyle \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H_{0}^{2}}}}$,

где ${\displaystyle \rho }$ – суммарная средняя плотность Вселенной, ${\displaystyle \rho _{c}}$ – критическая плотность Вселенной, ${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная.

Считается, что в современной Вселенной присутствуют следующие виды материи: барионное вещество, лептонное вещество, релятивистская материя (излучение), тёмная материя и тёмная энергия. Для разных компонентов Вселенной по аналогии вводятся свои параметры плотности:

${\displaystyle \Omega _{b}}$ – параметр плотности для барионного и лептонного вещества в сумме;

${\displaystyle \Omega _{m}}$ – параметр плотности вещества, состоящего из нерелятивистских частиц: тёмной материи, барионов и нерелятивистских лептонов (включает в себя параметр ${\displaystyle \Omega _{b}}$ как одно из слагаемых);

${\displaystyle \Omega _{r}}$ – параметр плотности для материи, состоящей из релятивистских частиц (например, фотонов и релятивистских нейтрино);

${\displaystyle \Omega _{q}}$ – параметр плотности тёмной энергии. Если тёмная энергия не является новым полем, а описывается новой фундаментальной константой – космологической постоянной, то её параметр плотности обозначается ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$.

Параметр плотности Вселенной (или параметр полной плотности) является суммой вкладов всех видов материи в общую плотность:

${\displaystyle \Omega =\Omega _{m}+\Omega _{r}+\Omega _{q}}$.

Параметр плотности удовлетворяет важному соотношению, которое является следствием первого уравнения Фридмана:

${\displaystyle \displaystyle \Omega =1+{\frac {kc^{2}}{a^{2}H^{2}}}}$,

где ${\displaystyle k}$ – параметр кривизны, ${\displaystyle c}$ – скорость света в вакууме.

Природы тёмной материи и тёмной энергии до сих пор неизвестны. Об этих двух компонентах материи, наполняющей Вселенную, можно сформулировать только общие утверждения. Их суммарный вклад в общую плотность современной Вселенной составляет около 95%. Хорошо изученный в лаборатории барионный компонент составляет малую долю всей плотности Вселенной – около 5%. Вклад лептонного компонента по крайней мере на порядок меньше.

В таблице 2 приведены современные значения параметра плотности Вселенной и параметры плотности для отдельных её компонентов, полученные в результате обработки данных наблюдений космической обсерватории «Планк».

Таблица 2. Современные значения параметров плотности Вселенной: полной плотности ${\displaystyle (\Omega )}$ и плотности разных компонентов материи и энергии ${\displaystyle (\Omega _{b},\ \Omega _{m},\ \Omega _{\Lambda })}$, а также параметра уравнения состояния тёмной энергии ${\displaystyle w_{q}}$ (по данным наблюдений космической обсерватории «Планк»)
Параметр	${\displaystyle \Omega }$	${\displaystyle \Omega _{b}}$	${\displaystyle \Omega _{m}}$	${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$	${\displaystyle w_{q}}$
Значение	1,001 +0,002/–0,001	0,048	0,315 ± 0,007	0,685 ± 0,007	–1,03 ± 0,03

Поскольку Вселенная считается однородной и изотропной в больших масштабах, то при её теоретическом моделировании тот или иной тип материи, входящий в её состав, аппроксимируется однородной идеальной жидкостью с определённым уравнением состояния:

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$,

где ${\displaystyle p}$ – давление, ${\displaystyle w}$ – коэффициент пропорциональности, называемый параметром уравнения состояния. Такой параметр можно ввести для каждого компонента Вселенной: барионного вещества ${\displaystyle (w_{b})}$; всего нерелятивистского вещества, включая тёмную материю, барионное вещество и нерелятивистское лептонное вещество ${\displaystyle (w_{m})}$; релятивистской материи ${\displaystyle (w_{r})}$; тёмной энергии ${\displaystyle (w_{q})}$.

Сравнение теории с наблюдательными данными показывает, что тёмная материя слабо взаимодействует с барионами и фотонами, её самодействие также очень малó. Тёмная материя взаимодействует с обычным веществом только гравитационно. Поэтому давление тёмной материи ${\displaystyle p_{m}}$ близко к нулю. Давление в барионном компоненте вещества ${\displaystyle p_{b}}$ также значительно меньше, чем плотность его энергии. Поэтому для тёмного и барионного вещества можно принять ${\displaystyle p_{m}=p_{b}=0}$, что равносильно условиям ${\displaystyle w_{m}=w_{b}=0}$.

Для релятивистской материи (излучения или релятивистской плазмы) давление составляет:

${\displaystyle \displaystyle p_{r}={\frac {1}{3}}\rho _{r}c^{2}}$,

где ${\displaystyle \rho _{r}}$ – массовая плотность релятивистской материи, ${\displaystyle p_{r}}$ – давление релятивистской материи. Это означает, что для релятивистской материи ${\displaystyle w_{r}=1/3}$. На современной стадии релятивистская материя состоит из фотонов реликтового излучения и, возможно, реликтовых нейтрино (если одно из них достаточно лёгкое).

Для тёмной энергии давление определяется величиной ${\displaystyle w_{q}}$:

${\displaystyle p_{q}=w_{q}\rho _{q}c^{2}}$,

где ${\displaystyle \rho _{q}}$ – массовая плотность тёмной энергии (отношение плотности тёмной энергии к квадрату скорости света), ${\displaystyle p_{q}}$ – давление тёмной энергии. Поскольку тёмная энергия доминирует в современной Вселенной, то именно параметр уравнения состояния тёмной энергии ${\displaystyle w_{q}}$ играет решающую роль в динамике Вселенной. Так как природа тёмной энергии неизвестна, коэффициент ${\displaystyle w_{q}}$ выделяют в качестве отдельного глобального космологического параметра. В случае если тёмная энергия описывается новой фундаментальной физической постоянной (космологической постоянной, или, что то же самое, Λ-членом), то физически её можно интерпретировать как среду с уравнением состояния ${\displaystyle p_{q}=-\rho _{q}c^{2}}$, т. е. параметр уравнения состояния такой среды ${\displaystyle w_{q}\equiv \ w_{\Lambda }=-1}$.

В последнем столбце таблицы 2 приведено современное значение параметра ${\displaystyle w_{q}}$, полученное по данным наблюдений космической обсерватории «Планк». Полученное значение, с точностью до ошибок равное –1, указывает в пользу космологической постоянной, хотя не исключает другие значения ${\displaystyle w_{q}}$, а также зависимость этого параметра от времени.

Во время расширения Вселенной плотность её разных компонентов меняется по следующим законам, которые можно выразить через соответствующие параметры плотности и параметр уравнения состояния тёмной энергии:

${\displaystyle \displaystyle \rho _{m}(t)=\rho _{m0}\left({\frac {a_{0}}{a(t)}}\right)^{3}=\rho _{m0}\left(1+z\right)^{3}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\Omega _{m}\left(1+z\right)^{3}}$,

${\displaystyle \displaystyle \rho _{r}(t)=\rho _{r0}\left({\frac {a_{0}}{a(t)}}\right)^{4}=\rho _{r0}\left(1+z\right)^{4}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\Omega _{r}\left(1+z\right)^{4}}$,

${\displaystyle \displaystyle \rho _{q}(t)=\rho _{q0}\left({\frac {a_{0}}{a(t)}}\right)^{3(1+w_{q})}=\rho _{q0}\left(1+z\right)^{3(1+w_{q})}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\Omega _{q}\left(1+z\right)^{3(1+w_{q})}}$.

Здесь индексы ${\displaystyle m}$ относятся к нерелятивистской материи Вселенной (барионному веществу, нерелятивистскому лептонному веществу и тёмной материи), индексы ${\displaystyle r}$ относятся к релятивистской материи, индексы ${\displaystyle q}$ относятся к тёмной энергии, символ «0» в нижнем индексе обозначает современное значение той или иной величины; ${\displaystyle z}$ – космологическое красное смещение.

Таким образом, параметр Хаббла в процессе расширения зависит от красного смещения и от состава Вселенной. Общая формула для параметра Хаббла:

${\displaystyle \displaystyle H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left[\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{r}(1+z)^{4}+\Omega _{q}(1+z)^{3(1+w_{q})}\right]}$.

При ${\displaystyle w_{q}=-1}$ последнее слагаемое в квадратных скобках не зависит от красного смещения (${\displaystyle z}$), т. е. остаётся постоянным на протяжении эволюции Вселенной. В прошлом, при больших значениях красного смещения ${\displaystyle (z\!\gg \!1)}$, наибольшее значение имело второе слагаемое в скобках, которое определяет вклад релятивистского компонента материи в общую плотность. Поэтому в ранней Вселенной доминировала релятивистская плазма и динамика параметра Хаббла ${\displaystyle H(t)}$ определялась этим видом материи.

Вспомогательный глобальный параметр – космологический параметр замедления ${\displaystyle q}$. Название «параметр замедления» вызвано историческими причинами, поскольку в середине 20 в. считалось, что наша Вселенная расширяется с замедлением, однако позже это оказалось неверным. Этот параметр определён так, чтобы при замедлении расширения Вселенной (т. е. при отрицательном значении второй производной масштабного фактора по времени) его значение было положительным:

${\displaystyle \displaystyle q=-{\frac {a{\ddot {a}}}{{\dot {a}}^{2}}}={\frac {1}{2}}\Omega _{m}+\Omega _{r}+{\frac {1+3w_{q}}{2}}\Omega _{q}}$.

Здесь точка и две точки над символом означают первую и вторую производные по времени; ${\displaystyle \Omega _{m}}$, ${\displaystyle \Omega _{r}}$ и ${\displaystyle \Omega _{q}}$ – параметры плотности нерелятивистского вещества, релятивистской материи и тёмной энергии соответственно; ${\displaystyle w_{q}}$ – параметр уравнения состояния тёмной энергии.

Для сопоставления Стандартной космологической модели с наблюдательными данными используется шестипараметрическая математическая модель. Это модель, которая обладает степенным спектром адиабатических скалярных первичных возмущений, описывает плоскую Вселенной с космологической постоянной ${\displaystyle \Lambda }$ (Стандартная ΛCDM-модель).

Основные наблюдательные данные, используемые для проверки модели, – анизотропия и поляризация реликтового излучения. Параметры этой модели следующие:

1) параметр относительной плотности холодной тёмной материи ${\displaystyle (\Omega _{c}h^{2})}$;

2) параметр относительной плотности барионного вещества ${\displaystyle (\Omega _{b}h^{2})}$;

3) спектральный индекс скалярных возмущений ${\displaystyle (n_{s})}$;

4) оптическая толща первичной плазмы ${\displaystyle (\tau )}$;

5) логарифм амплитуды спектра мощности первичных возмущений плотности ${\displaystyle (\ln {10^{10}A_{s}})}$;

6) угловой акустический масштаб ${\displaystyle 100\ \theta _{*}}$ (отношение размера звукового горизонта в момент рекомбинации к расстоянию по угловому размеру до него).

Величины этих параметров находятся по принципу наилучшего соответствия Стандартной космологической модели и наблюдательных данных. Все остальные космологические параметры, включая относительное содержание разных типов вещества во Вселенной (параметры плотности), современное значение параметра Хаббла, возраст Вселенной и др., выводятся из этих основных величин, в том числе путём сопоставления с данными по гравитационному линзированию, по сверхновым звёздам Ia типа, по крупномасштабному распределению вещества и другими методами.