Когомологии топологического пространства

Пусть ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок абелевых групп на ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}}$ – открытое покрытие пространства ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle n}$-мерной коцепью покрытия ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ называется отображение ${\displaystyle f}$, которое всякому упорядоченному набору ${\displaystyle i_{0},\ldots ,i_{n}\in I}$ такому, что

${\displaystyle U_{i_{0}\ldots i_{n}}=U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{n}}\neq \varnothing ,}$

сопоставляет сечение ${\displaystyle f_{i_{0}\ldots i_{n}}}$ пучка ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle U_{i_{0}}\ldots i_{n}}$. Множество всех ${\displaystyle n}$-мерных коцепей ${\displaystyle C^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})}$ является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор

${\displaystyle \delta _{n}:C^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})\rightarrow C^{n+1}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})}$

определяется следующим образом:

${\displaystyle \left(\delta _{n}f\right)_{i_{0}\ldots i_{n+1}}=\sum _{j=0}^{n+1}(-1)^{j}f_{i_{0}\ldots {\widehat {i_{j}}}\ldots i_{n+1}},}$

где символ ${\displaystyle {\hat {}}}$ означает, что соответствующий индекс опускается.

Последовательность

${\displaystyle C^{*}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}}):C^{0}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}C_{1}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta _{2}}{\longrightarrow }}\ldots }$

является комплексом (комплекс Чеха). Когомологии этого комплекса обозначаются ${\displaystyle H^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})}$ и

называются когомологиями Чеха покрытия ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Группа ${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})}$ совпадает с группой ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ сечений пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают.

Если покрытие ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ вписано в ${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\left\{V_{j}\right\}}$, т. е. для каждого ${\displaystyle i\in I}$ указано ${\displaystyle \tau (i)\in J}$ так, что ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{\tau (i)}}$, то определён канонический гомоморфизм ${\displaystyle H^{n}({\mathfrak {w}},{\mathcal {F}})\rightarrow H^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})}$, не зависящий от вписывания ${\displaystyle \tau }$. ${\displaystyle n}$-мерная группа когомологий Чеха пространства ${\displaystyle X}$ со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ определяется формулой:

${\displaystyle {\breve {H}}^{n}(X,F)={\underset {\longrightarrow }{\lim }}\,H^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}}),}$

где индуктивный предел берётся по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам.

Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологического функтора (см. в статье Гомологический функтор). В случае когда ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – постоянный пучок, соответствующий абелевой группе ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, группы ${\displaystyle {\breve {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})}$ совпадают с когомологиями Александрова – Чеха с коэффициентами в группе ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Рассматривается функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ из категории пучков абелевых групп на ${\displaystyle {\text{Х}}}$ в категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора называются ${\displaystyle n}$-мерными группами когомологий Гротендика со значениями в пучке ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и обозначаются ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$, ${\displaystyle n=0,1,\ldots }$. Точной последовательности пучков абелевых групп

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathcal {F}}_{1}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow 0}$

соответствует точная последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}\ldots &\longrightarrow H^{n-1}\left(X,{\mathcal {F}}_{3}\right)\longrightarrow H^{n}\left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)\longrightarrow H^{n}\left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right)\longrightarrow \&\longrightarrow H^{n}\left(X,{\mathcal {F}}_{3}\right)\longrightarrow H^{n+1}\left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)\longrightarrow \ldots ,\end{aligned}}}$

т. е. ${\displaystyle \left\{H^{n}(X,{\mathcal {F}})\right\}_{n=0,1,\ldots }}$ образуют когомологический функтор. При этом ${\displaystyle H^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\right)=\Gamma (X,{\mathcal {F}})}$. Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – вялый пучок, то ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle (n>0)}$. Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \left\{H^{n}(X,{\mathcal {F}})\right\}_{n=0,1,\ldots }}$ однозначно с точностью до изоморфизма.

Для вычисления когомологий Гротендика пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ можно воспользоваться левой резольвентой пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, состоящей из пучков, когомологии Гротендика которых равны 0 в положительных размерностях. Например, на произвольных топологических пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах – из мягких пучков или из тонких пучков.

Когомологии Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}}$ – открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность ${\displaystyle \left\{E_{r}^{p,q}\right\}}$, сходящаяся к ${\displaystyle \left\{H^{n}(X,{\mathcal {F}})\right\}}$ и такая, что

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}\left({\mathfrak {B}},{\mathcal {H}}^{q}(X,{\mathcal {F}})\right),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(X,{\mathcal {F}})}$ – предпучок, сопоставляющий открытому множеству ${\displaystyle V\subset X}$ группу ${\displaystyle H^{q}(V,{\mathcal {F}})}$. Если когомологии всех ${\displaystyle U_{i_{0}\ldots i_{n}}}$ со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и

${\displaystyle H^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})\cong H^{n}(X,{\mathcal {F}}),\quad n=0,1,\ldots ,}$

(теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм

${\displaystyle H^{n}({\mathfrak {B}},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

и после перехода к пределу – функторный гомоморфизм

${\displaystyle {\breve {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$.

Последний гомоморфизм биективен для ${\displaystyle n=0,1}$, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для ${\displaystyle n=2}$ и биективен для всех ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle X}$ паракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\breve {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\cong H^{n}(X,{\mathcal {F}}),\quad n=0,1,\ldots }$

Обобщением определённых выше групп когомологий являются группы когомологий ${\displaystyle H_{\Phi }^{n}(X,{\mathcal {F}})}$ с носителями в семействе ${\displaystyle \Phi }$. Семейство ${\displaystyle \Phi }$ замкнутых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ называется семейством носителей, если: 1) замкнутое подмножество любого множества из ${\displaystyle \Phi }$ принадлежит ${\displaystyle \Phi }$; 2) объединение любых двух подмножеств из ${\displaystyle \Phi }$ лежит в ${\displaystyle \Phi }$. Группы ${\displaystyle H_{\Phi }^{n}(X,{\mathcal {F}})}$ определяются как правые производные функтора ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma _{\Phi }(X,{\mathcal {F}})}$, где ${\displaystyle \Gamma _{\Phi }(X,{\mathcal {F}})=H_{\Phi }^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ – группа сечений пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, носители которых лежат в ${\displaystyle \Phi }$. Они образуют когомологический функтор.

Если ${\displaystyle \Phi }$ – семейство всех замкнутых множеств, то ${\displaystyle H_{\Phi }^{n}(X,{\mathcal {F}})=H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$. Другой важный частный случай: ${\displaystyle \Phi =c}$ – семейство всех компактных подмножеств. Группы ${\displaystyle H_{c}^{n}(X,{\mathcal {F}})}$ называются группами когомологий с компактным носителем.

В случае когда ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок колец, в группе

${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})=\sum _{n\geqslant 0}H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

естественным образом определяется умножение, превращающее её в градуированное кольцо (кольцо когомологий). При этом ассоциативность в пучке ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ влечёт за собой ассоциативность умножения в ${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$, а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированно-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологий соответственно. Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок модулей над пучком колец ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, то ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$ являются модулями над кольцом ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {A}})}$.

O когомологиях со значениями в пучке неабелевых групп см. в статье Неабелевы когомологии.