Резольвента

Резольве́нта (от лат. resolvens, род. падеж resolventis – развязывающий, решающий) алгебраического уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ степени ${\displaystyle n}$, алгебраическое уравнение ${\displaystyle g(y)=0}$ степени не большей ${\displaystyle n}$ с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов ${\displaystyle f(x)}$, такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$. Например, для решения уравнения 4-й степени

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

(к такому виду приводится любое уравнение 4-й степени) используют кубическую резольвенту

${\displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0,}$

корни которой ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ связаны с корнями ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ соотношениями ${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$, ${\displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})}$, ${\displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}$. Корни ${\displaystyle y_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}}$, ${\displaystyle y_{3}}$ определяются с помощью т. н. формулы Кардано, что позволяет определить и корни ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ${\displaystyle x_{4}}$. Название «резольвента» ввёл Ж.-Л. Лагранж (1808).

В теории интегральных уравнений под резольвентой (разрешающим ядром) уравнения

${\displaystyle \phi (s)+\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)\phi (t)dt=f(s)}$ (*)

понимают функцию ${\displaystyle \Gamma (s,t,\lambda )}$ переменных ${\displaystyle s,t}$ и параметра ${\displaystyle \lambda }$, при помощи которой решение уравнения (*) представляют в виде

${\displaystyle f(s)+\lambda \int _{a}^{b}\Gamma (s,t,\lambda )f(t)dt,}$

если ${\displaystyle \lambda }$ не является собственным значением уравнения (*).

Резольвента линейного оператора ${\displaystyle A}$ – оператор ${\displaystyle R_{z}=(A-zE)^{-1}}$, где ${\displaystyle E}$ – тождественный оператор и ${\displaystyle z}$ не является собственным значением ${\displaystyle A}$.