Коцепь

Коце́пь, однородный элемент коцепной абелевой группы ${\displaystyle C^{*}}$ (или, в общем случае, модуля), т. е. градуированной абелевой группы, снабжённой эндоморфизмом ${\displaystyle \delta }$ степени ${\displaystyle +1}$ , обладающим свойством ${\displaystyle \delta \delta =0}$. Эндоморфизм ${\displaystyle \delta }$ называется кограничным отображением или кограницей.

Обычно коцепная группа ${\displaystyle C^{*}}$ возникает как группа ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(C_{*},\mathbb {Z} \right)}$, или ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(C_{*},G\right)}$, где ${\displaystyle G}$ – произвольная абелева группа, называемая группой коэффициентов, а ${\displaystyle C_{*}}$ – группа цепей, т. е. градуированная абелева группа, снабжённая эндоморфизмом ${\displaystyle \partial }$ степени ${\displaystyle -1}$ – граничным отображением, или границей, причём ${\displaystyle \partial \partial =0}$. При этом отображение ${\displaystyle \delta }$ в группе ${\displaystyle C^{*}=\operatorname {Hom} \left(C_{*},G\right)}$ определяется как сопряжённое к ${\displaystyle \partial :(\delta f)\sigma =f(\partial \sigma )}$, где ${\displaystyle f\in C^{*}}$, ${\displaystyle \sigma \in C_{*}}$.

Для топологического пространства ${\displaystyle X}$ определена группа ${\displaystyle C_{*}(X)}$ сингулярных цепей – абелева группа формальных конечных сумм ${\displaystyle \sum a_{i}s_{i}}$, где ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$, а ${\displaystyle s_{i}}$ – произвольные сингулярные симплексы пространства ${\displaystyle X}$, т. е. непрерывные отображения в ${\displaystyle X}$ стандартного симплекса. Сингулярной коцепью пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в ${\displaystyle G}$ называется однородный элемент группы ${\displaystyle C^{*}(X,G)=\operatorname {Hom} \left(C_{*}(X),G\right)}$.

Аналогично, симплициальной ${\displaystyle n}$-коцепью симплициального разбиения ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в абелевой группе ${\displaystyle G}$ называется гомоморфизм ${\displaystyle C_{n}(X)\rightarrow G}$, где ${\displaystyle C_{n}(X)}$ – группа ${\displaystyle n}$-цепей разбиения ${\displaystyle X}$, т. е. группа формальных конечных сумм ${\displaystyle \sum a_{i}s_{i}}$, где ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$, a ${\displaystyle s_{i}}$ суть ${\displaystyle n}$-симплексы разбиения ${\displaystyle X}$. В частности, коцепь в смысле Александрова – Чеха произвольного топологического пространства ${\displaystyle X}$ есть коцепь нерва некоторого открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$.

Если ${\displaystyle X}$ – клеточное разбиение (${\displaystyle X_{n}}$ – ${\displaystyle n}$-мерный остов ${\displaystyle X}$), то абелева группа ${\displaystyle H^{n}\left(X_{n},X_{n-1}\right)}$ называется группой ${\displaystyle n}$-мерных клеточных коцепей разбиения ${\displaystyle X}$. Кограничный гомоморфизм ${\displaystyle \delta :H^{n}\left(X_{n},X_{n-1}\right)\rightarrow H^{n+1}\left(X_{n+1},X_{n}\right)}$ полагается совпадающим со связывающими отображениями тройки ${\displaystyle \left(X_{n+1},X_{n},X_{n-1}\right)}$.

На практике часто группа ${\displaystyle C^{*}}$ снабжается дополнительно мультипликативной структурой, т. е. представляет собой градуированную алгебру. В этих случаях кограничное отображение ${\displaystyle \delta }$ обладает свойством Лейбница: ${\displaystyle \delta (xy)=(\delta x)y+(-1)^{\operatorname {deg} x}x(\delta y)}$, здесь элемент ${\displaystyle x\in C^{*}}$ полагается однородным степени ${\displaystyle \operatorname {deg} x}$. Такой градуированной коцепной алгеброй является, например, алгебра дифференциальных форм на гладком многообразии, в которой внешний дифференциал играет роль кограницы.