Дифференциальный инвариант

Дифференциа́льный инвариа́нт, выражение, составленное из одной или нескольких функций, их частных производных по независимым переменным различных порядков, а иногда и дифференциалов этих переменных, инвариантных относительно того или иного преобразования.

Пусть в дифференцируемом многообразии ${\displaystyle X_{n}}$, элементом которого является точка ${\displaystyle (u^{1},u^{2}\ldots u^{n})}$, задан геометрический объект ${\displaystyle \Omega }$. Геометрический объект ${\displaystyle \omega }$ того же многообразия называется дифференциальным инвариантом порядка ${\displaystyle r}$ относительно объекта ${\displaystyle \Omega }$, если его координаты ${\displaystyle \omega _{A}}$, ${\displaystyle A=1,2,\ldots N}$ являются функциями координат ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha =1,2,\ldots M}$ объекта ${\displaystyle \Omega }$ и их частных производных по координатам ${\displaystyle u^{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots n}$, до порядка ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle \omega _{A}=f_{A}(\Omega _{\alpha },\partial _{i}\Omega _{\alpha },\ldots ,\partial _{i_{1}i_{2}\ldots i_{r}}^{r}\Omega _{\alpha })}$

и обладают следующим свойством инвариантности относительно некоторого преобразования координат. Именно: при замене координат

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(u^{1^{\prime }},u^{2^{\prime }},\ldots ,u^{n^{\prime }})}$

новые координаты ${\displaystyle \omega _{A}^{\prime }}$ объекта ${\displaystyle \omega }$ выражаются через новые координаты ${\displaystyle \Omega _{A}^{\prime }}$ объекта ${\displaystyle \Omega }$ и их частные производные по новым координатам – теми же самыми функциями ${\displaystyle f_{A}}$:

${\displaystyle \omega _{A}^{\prime }=f_{A}(\Omega _{A}^{\prime },\partial _{i}\Omega _{\alpha }\ldots \partial _{i_{1}^{\prime }\ldots i_{n}^{\prime }}^{r}\Omega _{\alpha })}$.

Пусть, например, ${\displaystyle \Omega }$ – объект линейной аффинной связности (без кручения). Объект ${\displaystyle \omega }$ (тензор кривизны):

${\displaystyle R_{ijk}^{l}=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{l}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{l}+\Gamma _{is}^{l}\Gamma _{jk}^{s}-\Gamma _{js}^{l}\Gamma _{ik}^{s}}$

есть тензорный дифференциальный инвариант порядка ${\displaystyle 1}$ относительно символов Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$.

Пусть в ${\displaystyle X_{n}}$ задана группа (псевдогруппа) ${\displaystyle G}$ точечных преобразований

${\displaystyle u^{i}=f^{i}({\bar {u}}^{1},{\bar {u}}^{2},\ldots ,{\bar {u}}^{n})}$ (1)

и ${\displaystyle M_{h}}$ – подмногообразие ${\displaystyle X_{n}}$ размерности ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle u^{i}=\varphi ^{i}(t^{1},t^{2},\ldots ,t^{n}),}$ (2)

параметры которого подвергаются преобразованиям бесконечной группы

${\displaystyle t^{\alpha }=\psi ^{\alpha }({\bar {t}}^{1^{*}},{\bar {t}}^{2^{*}},\ldots {\bar {t}}^{n^{*}})}$.

Геометрическим дифференциальным инвариантом порядка ${\displaystyle r}$ многообразия ${\displaystyle M_{h}}$ относительно группы (псевдогруппы) ${\displaystyle G}$ называют функцию координат ${\displaystyle u^{i}}$ точки ${\displaystyle M_{h}}$ и их частных производных до порядка ${\displaystyle r}$ по параметрам ${\displaystyle t^{\alpha }}$:

${\displaystyle F\left(u^{i},{\frac {\partial u^{i}}{\partial t^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {\partial ^{r}u^{i}}{\partial t^{\alpha _{1}}\ldots \partial t^{\alpha _{r}}}}\right),}$ (3)

обладающую свойством инвариантности относительно преобразований (1) и (2). Именно: если в (3) заменить ${\displaystyle u^{i}}$ по формулам (1), а частные производные от ${\displaystyle u^{i}}$ по ${\displaystyle t^{\alpha }}$ – их выражениями через частные производные от ${\displaystyle {\overline {u}}^{i}}$ по ${\displaystyle {{\overline {t}}^{\alpha }}^{*}}$, то получается та же функция ${\displaystyle F}$ от ${\displaystyle {\overline {u}}^{i}}$ и их производных по ${\displaystyle {{\overline {t}}^{\alpha }}^{*}}$:

${\displaystyle F\left(u^{i},{\frac {\partial {\overline {u}}^{i}}{\partial {{\overline {t}}^{\alpha }}^{*}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{r}{\overline {u}}^{i}}{\partial {{\overline {t}}^{\alpha _{1}}}^{*}\ldots {{\overline {t}}^{\alpha _{r}}}^{*}}}\right)}$.

Если координаты ${\displaystyle u^{i}}$ однородны, то функция ${\displaystyle F}$ должна быть также инвариантна относительно преобразований

${\displaystyle u^{*\,i}=\lambda (t^{1}\ldots t^{n})u^{i},\ \ \lambda \neq 0}$.

В определении геометрического дифференциального инварианта функцию ${\displaystyle F}$ можно заменить геометрическим объектом. Если этот объект – ковариантный (контравариантный) вектор, то его называют ковариантом (контравариантом).

Если инвариантно обращение в нуль некоторого объекта, то его называют относительным дифференциальным инвариантом.