Тензор кривизны

Те́нзор кривизны́, тензор типа ${\displaystyle (1,3)}$, получающийся в разложении формы кривизны в локальном кобазисе на многообразии ${\displaystyle M^{n}}$. В частности, в голономном кобазисе ${\displaystyle dx^{i}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, компоненты тензора кривизны ${\displaystyle R_{lij}^{k}}$ аффинной связности выражаются через объекты связности ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ и их производные

${\displaystyle R_{lij}^{k}=\partial _{i}\Gamma _{jl}^{k}-\partial _{j}\Gamma _{il}^{k}+\Gamma _{ip}^{k}\Gamma _{jl}^{p}-\Gamma _{jp}^{k}\Gamma _{il}^{p}}$.

Аналогично определяется тензор кривизны для произвольной связности на главном расслоённом пространстве со структурной группой Ли ${\displaystyle G}$ через разложение соответствующей формы кривизны, в частности для конформной связности и проективной связности. Он принимает значения в алгебре Ли группы ${\displaystyle G}$ и представляет собой пример так называемых тензоров с нескалярными компонентами.