Скобки Лагранжа

Ско́бки Лагра́нжа относительно переменных ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, сумма вида

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}\right)\equiv [u,v]_{p,q},}$ (*)

где ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$ и ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ – некоторые функции от ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.

Если ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$ и ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ – канонические переменные и ${\displaystyle Q=Q(q,p)}$, ${\displaystyle P=P(q,p)}$ – каноническое преобразование, то скобки Лагранжа являются инвариантами этого преобразования:

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}$.

По этой причине индексы ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle p}$ в правой части (*) часто опускают. Скобки Лагранжа называются фундаментальными, когда переменные ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ совпадают с какой-либо парой из ${\displaystyle 2n}$ переменных ${\displaystyle q,p}$. Из них можно составить три матрицы

${\displaystyle [p,p]=\left\{\left[p_{i},p_{j}\right]\right\}_{i,j=1}^{n},\quad [q,q],\quad [q,p]}$,

первые две из которых нулевые, а последняя единичная. Между скобками Лагранжа и скобками Пуассона имеется определённая связь. Именно, если функции ${\displaystyle u_{i}=u_{i}(q,p)}$, ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant 2n}$, осуществляют диффеоморфизм ${\displaystyle {{\ce {R^{2n}-> R^{2n}}}}}$, то матрицы, составленные из элементов ${\displaystyle \left[u_{i},u_{j}\right]}$ и ${\displaystyle \left(u_{j},u_{i}\right)}$, взаимно обратны.