Двойная окружность Александрова

Двойна́я окру́жность Алекса́ндрова, топологическое пространство, классический пример компактного хаусдорфова пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счётности, но не удовлетворяющего второй. Оно строится следующим образом (см. рис.). Пусть ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ – две несовпадающие концентрические окружности на плоскости, а ${\displaystyle p\colon C_{1}\to C_{2}}$ – отображение проектирования окружности ${\displaystyle C_{1}}$ на окружность ${\displaystyle C_{2}}$ из их общего центра ${\displaystyle o}$. (Другими словами, если ${\displaystyle z\in C_{1}}$, то ${\displaystyle p(z)}$ есть точка пересечения луча ${\displaystyle oz}$ с окружностью ${\displaystyle C_{2}}$.) Для каждой точки ${\displaystyle z\in C_{1}}$ пусть ${\displaystyle V(z,\alpha )}$ обозначает открытую дугу окружности ${\displaystyle C_{1}}$ с угловой величиной ${\displaystyle \alpha }$ (где ${\displaystyle 0<\alpha <2\pi }$) и с серединой в точке ${\displaystyle z}$. На множестве ${\displaystyle A=C_{1}\cup C_{2}}$ определяется топология: база её открытых множеств состоит из а) всех одноточечных множеств вида ${\displaystyle \left\{c\right\}}$, где ${\displaystyle c\in C_{2}}$ (т. е. все точки окружности ${\displaystyle C_{2}}$ объявляются изолированными); б) множеств вида

${\displaystyle U(z,\alpha )=V(z,\alpha )\cup p\left(V(z,\alpha )\setminus \{z\}\right)}$

при всевозможных ${\displaystyle z\in C_{1}}$ и ${\displaystyle 0<\alpha <2\pi }$; таким образом, для каждой точки ${\displaystyle z\in C_{1}}$ семейство ${\displaystyle \left\{U(z,\alpha ):0<\alpha <2\pi \right\}}$ есть семейство базисных окрестностей точки ${\displaystyle z}$.

Построенное топологическое пространство ${\displaystyle A}$ (не зависящее, с точностью до гомеоморфизма, от радиусов окружностей ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$) и называется двойной окружностью Александрова. Это пространство компактно и хаусдорфово; топология подпространства ${\displaystyle C_{1}\subset A}$ совпадает с обычной топологией окружности как подпространства евклидовой плоскости (т. е. подпространство ${\displaystyle C_{1}}$ гомеоморфно одномерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$), а подпространство ${\displaystyle C_{2}\subset A}$ дискретно, открыто и всюду плотно в ${\displaystyle A}$ – таким образом, ${\displaystyle A}$ является компактификацией дискретного пространства мощности континуума.

Пространство ${\displaystyle A}$ удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй; оно даже не сепарабельно, так как содержит открытое дискретное подпространство ${\displaystyle C_{2}}$ мощности континуума. Кроме того, ${\displaystyle A}$ наследственно нормально, но не совершенно нормально (его открытое подмножество ${\displaystyle C_{2}}$ не является ${\displaystyle F_{\sigma }}$-множеством) – отсюда (а также из того, что оно компактно, но не удовлетворяет второй аксиоме счётности) следует его неметризуемость.

В основе построения двойной окружности Александрова лежит общетопологическая конструкция, которая состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle X}$ – произвольное топологическое пространство; положим ${\displaystyle A(X)=X\cup X_{0}}$, где ${\displaystyle X_{0}}$ – некоторая копия множества ${\displaystyle X}$, не пересекающаяся с ним, т. е. такое множество ${\displaystyle X_{0}}$, что ${\displaystyle X\cap X_{0}=\varnothing }$, и существует биекция ${\displaystyle p\colon X\to X_{0}}$. На множестве ${\displaystyle A(X)}$ определим топологию, выбирая в качестве базы открытых множеств все одноточечные множества вида ${\displaystyle \left\{c\right\}}$, где ${\displaystyle c\in X_{0}}$ и все множества вида ${\displaystyle V\cup p(V\setminus \{z\})}$, где ${\displaystyle z\in X}$ и ${\displaystyle V}$ – открытое в ${\displaystyle X}$ множество, содержащее точку ${\displaystyle z}$. Так построенное пространство ${\displaystyle A(X)}$ называется александровским удвоением (или удвоением по Александрову) пространства ${\displaystyle X}$. Двойная окружность Александрова представляет собой частный случай александровского удвоения – а именно, является александровским удвоением окружности (одномерной сферы).

Для того чтобы пространство ${\displaystyle A(X)}$ было компактным (хаусдорфовым, тихоновским, нормальным), необходимо и достаточно, чтобы пространство ${\displaystyle X}$ обладало соответствующим свойством.

Двойная окружность Александрова была определена в «Мемуаре о компактных топологических пространствах» П. С. Александрова и П. С. Урысона (Alexandroff. 1929^[1]; русский перевод: Александров. 1971.^[2] С. 30–32). Конструкция александровского удвоения была введена Р. Энгелькингом (Engelking. 1968).