Включение методов суммирования

Включе́ние ме́тодов сумми́рования, включение полей суммируемости, соответствующих этим методам. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – два метода суммирования, определённые на множестве ${\displaystyle M}$ рядов (или последовательностей), ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ – их поля суммируемости и ${\displaystyle A^{*}\subset B^{*}}$, то говорят, что метод ${\displaystyle B}$ включает метод ${\displaystyle A}$ и обозначают символом ${\displaystyle A\subset B}$. Методы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют равносильными и обозначают ${\displaystyle A=B}$, если каждый из них включает другой. Равносильные методы имеют одно и то же поле суммируемости. Метод ${\displaystyle B}$ сильнее метода ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle B}$ включает ${\displaystyle A}$, но не равносилен ему. Если поле суммируемости метода совпадает с множеством всех сходящихся рядов, то метод называется равносильным сходимости. Иногда рассматривают включение методов суммирования не на всём множестве их определения, а лишь на некотором его подмножестве.

Для методов суммирования Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ имеет место включение ${\displaystyle (C,k_{1})\subset (C,k_{2})}$ при ${\displaystyle k_{2}\geqslant k_{1}>-1}$, метод суммирования Абеля сильнее всей совокупности методов Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ при ${\displaystyle k>-1}$, метод суммирования Рисса ${\displaystyle (R,n,k)}$ равносилен методу суммирования Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ (${\displaystyle k\geqslant 0}$), метод суммирования Абеля равносилен сходимости на множестве рядов, члены которых ${\displaystyle a_{n}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle a_{n}=O\left({\frac {1}{n}}\right)}$. В приведённых примерах методы суммирования являются одновременно и совместными, хотя в общем случае включение методов суммирования не предполагает их совместности. Однако, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – регулярные матричные методы и ${\displaystyle A\subset B}$ на множестве ограниченных последовательностей, то ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ совместны на этом множестве (теорема Мазура – Орлича – Брудно; см. Mazur. 1933 и Брудно. 1945). В литературных источниках иногда требование совместности методов налагают при самом определении включения.

Включение методов суммирования, определённых на множестве рядов с действительными членами, называется полным, если включение полей суммируемости сохраняется и при пополнении их рядами, суммируемыми к ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$. Например, метод суммирования Гёльдера ${\displaystyle (H,k)}$ вполне включает метод Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$.

Включение методов суммирования для специальных видов суммируемости (например, для абсолютной суммируемости, сильной суммируемости и др.) определяется аналогичным образом.