Методы суммирования Гёльдера

Ме́тоды сумми́рования Гёльдера, совокупность методов суммирования числовых рядов; введены О. Гёльдером (Hölder. 1882) как обобщение метода суммирования средних арифметических. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

суммируется методом Гёльдера ${\displaystyle (H,k)}$ к сумме ${\displaystyle s}$, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}^{k}=s}$,

где

${\displaystyle H_{n}^{0}=s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$
${\displaystyle H_{n}^{k}={\frac {H_{0}^{k-1}+H_{1}^{k-1}+\ldots +H_{n}^{k-1}}{n+1}},}$

${\displaystyle k=1,2,\ldots }$ В частности, ${\displaystyle (H,0)}$-суммируемость ряда означает его обычную сходимость; ${\displaystyle (H,1)}$ есть метод средних арифметических. Методы ${\displaystyle (H,k)}$ – вполне регулярные методы суммирования при любом ${\displaystyle k}$ и совместны для всех ${\displaystyle k}$. С увеличением ${\displaystyle k}$ сила метода возрастает: если ряд суммируем методом ${\displaystyle (H,k)}$ к сумме ${\displaystyle s}$, то он суммируем к той же сумме методом ${\displaystyle (H,k')}$ при любом ${\displaystyle k'>k}$. Метод ${\displaystyle (H,k)}$ при всех ${\displaystyle k}$ равносилен и совместен с методом суммирования Чезаро того же порядка ${\displaystyle k}$. Если ряд суммируем методом ${\displaystyle (H,k)}$, то его члены ${\displaystyle a_{n}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle a_{n}=o(n^{k})}$.