Абсолютная суммируемость

Абсолю́тная сумми́руемость, специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования ${\displaystyle A}$ определён преобразованием последовательности ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ в последовательность ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}}$ посредством матрицы ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$:

${\displaystyle \sigma _{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{nk}s_{k},\quad n=0,1,2\ldots ,}$

тогда последовательность ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ абсолютно суммируема методом ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle |A|}$-суммируема) к пределу ${\displaystyle s}$, если она ${\displaystyle A}$-суммируема к этому пределу, т. е.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=s,}$

и последовательность ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}}$ имеет ограниченную вариацию:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\sigma _{n}-\sigma _{n-1}|<\infty }$ (1).

Если ${\displaystyle s_{n}}$ являются частичными суммами ряда

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k},}$ (2)

то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом ${\displaystyle A}$ к сумме ${\displaystyle s}$. Условие (1) и есть то дополнительное условие, которое выделяет в этом случае абсолютную суммируемость из обычной суммируемости. Аналогично определяется абсолютная суммируемость для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определён преобразованием ряда (2) в ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}}$ (3)

посредством матрицы ${\displaystyle \Vert b_{nk}\Vert }$:

${\displaystyle \alpha _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{nk}u_{k},}$

то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу ${\displaystyle A}$ соответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, абсолютная суммируемость ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.

Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для метода суммирования Абеля таким условием является требование, чтобы функция

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}x^{k}}$

имела ограниченную вариацию на полуинтервале ${\displaystyle 0\leqslant x<1}$. Для интегральных методов суммирования абсолютная суммируемость выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в методе суммирования Бореля должен абсолютно сходиться интеграл

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u_{k}x^{k}}{k!}}\,dx}$.

Метод суммирования называется сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к которой он сходится, то метод называется абсолютно регулярным. Например, метод суммирования Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ абсолютно регулярен при ${\displaystyle k\geqslant 0}$. Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определённого преобразованием ряда в ряд посредством матрицы ${\displaystyle \Vert b_{nk}\Vert }$, являются условия:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|b_{nk}|\leqslant M,\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{nk}=1,\quad k=0,1,2,\ldots ,}$

(теорема Кноппа – Лоренца; см. Knopp. 1949). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.

Обобщением абсолютной суммируемости является абсолютная суммируемость в степени ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle p\leqslant 1}$). Дополнительным условием, выделяющим абсолютную суммируемость в степени ${\displaystyle p}$ из обычной суммируемости, например, для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ в последовательность ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}}$, является условие:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{p-1}|\sigma _{n}-\sigma _{n-1}|^{p}<\infty }$.

Понятие абсолютной суммируемости введено Э. Борелем для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: абсолютная суммируемость выделялась требованием

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}\left|\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u_{k+p}x^{k}}{k!}}\right|\,dx<\infty }$

для каждого ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots }$ . Абсолютная суммируемость применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась абсолютная суммируемость методами суммирования Чезаро (${\displaystyle |C,k|}$-суммируемость). Общее определение абсолютной суммируемости возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.