Метод суммирования Рисса

Ме́тод сумми́рования Ри́сса, метод суммирования числовых и функциональных рядов; обозначается ${\displaystyle (R,\lambda ,k)}$. Ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ суммируем методом суммирования Рисса ${\displaystyle (R,\lambda ,k)}$ к сумме ${\displaystyle s}$, если

${\displaystyle \lim _{\omega \to +\infty }\sum _{\lambda _{n}\leqslant \omega }\left(1-{\frac {\lambda _{n}}{\omega }}\right)^{k}a_{n}=s}$,

где ${\displaystyle k>0}$, ${\displaystyle 0\leqslant \lambda _{0}<\lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}\to \infty }$, ${\displaystyle \omega }$ – непрерывный параметр. Метод был введён М. Риссом (Riesz. 1911) для суммирования рядов Дирихле. Метод ${\displaystyle (R,\lambda ,k)}$ регулярен; при ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$ равносилен методу суммирования Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ и совместен с ним.

М. Рисс рассматривал также метод, в котором суммируемость ряда ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ определяется через предел последовательности ${\displaystyle \left\{\sigma _{m}\right\}}$, где

${\displaystyle \sigma _{m}={\frac {1}{P_{m}}}\sum _{k=0}^{m}p_{k}s_{k}}$
${\displaystyle P_{m}=\sum _{k=0}^{m}p_{k}\neq 0,\quad s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}.}$

Этот метод обозначается ${\displaystyle (R,p_{n})}$. Метод ${\displaystyle (R,\lambda ,k)}$ является модификацией метода ${\displaystyle (R,p_{n})}$ (при ${\displaystyle k=1}$) и обобщением его на произвольные ${\displaystyle k>0}$.