Метод суммирования Абеля

Ме́тод сумми́рования А́беля (А-метод, метод суммирования Абеля – Пуассона), один из методов суммирования числовых рядов. Ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

суммируется методом Абеля к числу ${\displaystyle S}$, если для любого действительного числа ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 0<x<1}$, степенной ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

сходится и

${\displaystyle \lim _{x\to 1{-}0}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=S}$.

Этот метод суммирования встречался ещё у Л. Эйлера и даже у Г. В. Лейбница. Название «метод суммирования Абеля» обосновано теоремой Абеля о непрерывности суммы степенного ряда. Метод суммирования Абеля является вполне регулярным методом суммирования, который сильнее всей совокупности методов суммирования Чезаро. Метод суммирования Абеля применяется в связи с тауберовыми теоремами для доказательства сходимости рядов.

С методом суммирования Абеля тесно связан A'^* -метод суммирования: пусть ${\displaystyle z}$ – комплексное число, ${\displaystyle \mid z\mid <1}$; ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

суммируется A'^* -методом к числу ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \lim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=S}$,

когда ${\displaystyle z\to 1}$ по любому некасательному к единичной окружности пути.