Матричный метод суммирования

Ма́тричный ме́тод сумми́рования, один из методов суммирования ряда и последовательности с помощью бесконечной матрицы.

Посредством бесконечной матрицы ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, данная последовательность ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ преобразуется в последовательность ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}}$:

${\displaystyle \sigma _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{nk}s_{k}}$.

Если ряд справа сходится для всех ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ и последовательность ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}}$ имеет предел ${\displaystyle s}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=s,}$

то последовательность ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ называется суммируемой методом, определённым матрицей ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$, или просто суммируемой матрицей ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$, а число ${\displaystyle s}$ – её пределом в смысле этого метода суммирования. Если ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ рассматривается как последовательность частичных сумм ряда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k},}$ (1)

то этот ряд называется суммируемым к сумме ${\displaystyle s}$ матрицей ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$.

Матричный метод суммирования для ряда может быть также определён и непосредственным преобразованием ряда (1) в последовательность ${\displaystyle \{\gamma _{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }g_{nk}u_{k},}$ (2)

где ${\displaystyle \Vert g_{nk}\Vert }$ – данная матрица. В этом случае ряд (1) называется суммируемым к сумме ${\displaystyle s}$, если для всех ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ сходится ряд справа в (2) и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}=s}$.

Менее распространены матричные методы суммирования, определённые преобразованием ряда (1) в ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n},}$ (3)

где

${\displaystyle \alpha _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{nk}u_{k},}$

и преобразованием последовательности ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ в ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\beta _{n},}$ (4)

где

${\displaystyle \beta _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{nk}s_{k},\quad n=1,2,\ldots ,}$

при помощи соответственно матриц ${\displaystyle \Vert \alpha _{nk}\Vert }$ и ${\displaystyle \Vert \beta _{nk}\Vert }$. В этих случаях ряд (1) с частичными суммами ${\displaystyle s_{n}}$ суммируем к сумме ${\displaystyle s}$, если ряд (3) сходится к ${\displaystyle s}$ или соответственно ряд (4) сходится к ${\displaystyle s}$.

Матрицу метода суммирования, все элементы которой неотрицательны, называют положительной матрицей. К матричным методам суммирования относятся, например, метод суммирования Вороного, методы суммирования Чезаро, метод суммирования Эйлера, метод суммирования Рисса (${\displaystyle R}$, ${\displaystyle p_{n}}$), метод суммирования Хаусдорфа и др. (см. Методы суммирования).