Методы суммирования Чезаро

Ме́тоды сумми́рования Чеза́ро, совокупность методов суммирования числовых и функциональных рядов. Введены Э. Чезаро (Cesàro. 1890); обозначаются символом ${\displaystyle (C,k)}$. Ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ (*)

с частичными суммами ${\displaystyle S_{n}}$ суммируем методом Чезаро порядка ${\displaystyle k}$, или ${\displaystyle (C,k)}$-суммируем, к сумме ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \sigma _{n}^{k}={\dfrac {S_{n}^{k}}{A_{n}^{k}}}\to S,\quad n\to \infty }$,

где ${\displaystyle S_{n}^{k}}$ и ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ определяются как коэффициенты разложений

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}^{k}x^{n}=(1-x)^{-k-1},\\\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}^{k}x^{n}=(1-x)^{-k}\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}=(1-x)^{-k-1}\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.\end{aligned}}}$

Выражения для ${\displaystyle \sigma _{n}^{k}}$ и ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ можно представить в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}^{k}={\dfrac {1}{A_{n}^{k}}}\sum \limits _{\nu =0}^{n}A_{n-\nu }^{k-1}S_{n}={\dfrac {1}{A_{n}^{k}}}\sum \limits _{\nu =0}^{n}A_{n-\nu }^{k}a_{n},\\[12pt]A_{n}^{k}={\binom {k+n}{n}}n={\frac {(k+1)(k+2)\dots (k+n)}{n!}},\quad k\neq -1,-2,\dots .\end{aligned}}}$

Метод ${\displaystyle (C,k)}$ является матричным методом суммирования с матрицей ${\displaystyle \|a_{n\nu }\|}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n\nu }={\begin{cases}{\dfrac {A_{n-\nu }^{k-1}}{A_{n}^{k}}},&\nu \leqslant n,\\0,&\nu >n.\end{cases}}\end{aligned}}}$

При ${\displaystyle k=0}$ метод Чезаро совпадает с обычной сходимостью, при ${\displaystyle k=1}$ он есть метод средних арифметических. Методы ${\displaystyle (C,k)}$ вполне регулярны при ${\displaystyle k\geqslant 0}$ и не являются регулярными при ${\displaystyle k<0}$. Сила метода возрастает с увеличением ${\displaystyle k}$: если ряд суммируем методом ${\displaystyle (C,k)}$, то он суммируем к той же сумме методом ${\displaystyle (C,k')}$ при ${\displaystyle k'>k>-1}$. При ${\displaystyle k<-1}$ это свойство не сохраняется. Из суммируемости ряда (*) методом ${\displaystyle (C,k)}$ следует, что ${\displaystyle a_{n}=o(n_{k})}$. Метод ${\displaystyle (C,k)}$ равносилен и совместен с методами суммирования Гёльдера ${\displaystyle (H,k)}$ и Рисса ${\displaystyle (R,n,k)}$, (${\displaystyle k>0}$). При любом ${\displaystyle k>-1}$ метод ${\displaystyle (C,k)}$ слабее метода Абеля.

Первоначально методы ${\displaystyle (C,k)}$ были определены Э. Чезаро для целых положительных значений параметра ${\displaystyle k}$ и применены им к умножению рядов. Позднее они были распространены на произвольные значения ${\displaystyle k}$, в том числе и на комплексные. Методы ${\displaystyle (C,k)}$ имеют многочисленные применения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.