Симметричная матрица

Симметри́чная ма́трица, квадратная матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Другое определение: матрица ${\displaystyle A}$ называется симметричной, если ${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$, где ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ – транспонированная матрица. Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица.

Симметричные матрицы с вещественными элементами обладают следующими свойствами.

1. Линейная комбинация симметричных матриц есть симметричная матрица.
2. Если симметричная матрица имеет обратную матрицу, то она симметричная.
3. Если ${\displaystyle A}$ – произвольная квадратная матрица, то матрицы ${\displaystyle A+A^{\mathsf {T}}}$, ${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$, ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$ являются симметричными.
4. Произведение двух симметричных матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ является симметричной матрицей тогда и только тогда, когда матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ перестановочны ${\displaystyle (AB=BA)}$.
5. Все собственные значения симметричной матрицы вещественны.
6. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны.
7. Если ${\displaystyle A}$ – симметричная матрица порядка ${\displaystyle n}$, то в пространстве ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ существует базис из собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$.
8. Симметричная матрица ${\displaystyle A}$ диагонализуема, т. е. матрица ${\displaystyle P^{-1}AP}$ является диагональной. Столбцами ортогональной матрицы ${\displaystyle P}$ служат нормированные собственные векторы матрицы ${\displaystyle A}$.

Понятие симметричной матрицы используется в определении квадратичной формы.