Уравновешенное множество

Уравнове́шенное мно́жество, множество ${\displaystyle U}$ действительного или комплексного векторного пространства ${\displaystyle X}$ такое, что из ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle |\lambda |\leq 1}$ следует ${\displaystyle \lambda x\in U}$. Примером уравновешенного множества может служить единичный шар нормированного векторного пространства и вообще окрестность нуля ${\displaystyle U}$ базы окрестностей нуля топологического векторного пространства. Эти окрестности нуля являются, кроме того, поглощающими множествами, т. е. такими, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ существует ${\displaystyle \alpha >0}$ такое, что ${\displaystyle x\in \lambda U}$ при ${\displaystyle |\lambda |\geq \alpha }$. Если ${\displaystyle U}$ – выпуклое поглощающее уравновешенное множество, то функционал ${\displaystyle p_{U}(x)={\underset {x\in \lambda U}{\rm {inf}}}|\lambda |}$ является полунормой, т. е. обладает свойствами

${\displaystyle p_{U}(x+y)=p_{U}(x)+p_{U}(y),\quad p_{U}(\lambda x)=|\lambda |p_{U}(x)}$.

Уравновешенные множества называют также центрированными.