Абсолютно сходящийся ряд

Абсолю́тно сходя́щийся ряд, ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ (1)

с (вообще говоря) комплексными членами, для которого сходится ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$ (2).

Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовал такой номер ${\displaystyle n_{\varepsilon }}$, что для всех номеров ${\displaystyle n>n_{\varepsilon }}$ и всех целых ${\displaystyle p\geqslant 0}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \sum _{k=n}^{n+p}|u_{k}|<\varepsilon }$.

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n^{2}}}}$

абсолютно сходится (${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$), а ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$

сходится, но не абсолютно. Пусть

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }u_{m}^{*}}$ (3)

– ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная сходимость ряда (3), и ряд (З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\quad {\text{и}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$

абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda u_{n}+\mu v_{n}}$

также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений ${\displaystyle u_{m}v_{n}}$ членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды

${\displaystyle \sum _{(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})}u_{n_{1}n_{2}\ldots n_{k}}}$ (4).

При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он сходится, например, как в смысле сферических частных сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма в обоих случаях оказывается одной и той же. Если кратный ряд (4) абсолютно сходится, то повторный ряд

${\displaystyle \sum _{n_{k}=1}^{\infty }\ldots \sum _{n_{2}=1}^{\infty }\sum _{n_{1}=1}^{\infty }u_{n_{1}n_{2}\ldots n_{k}}}$ (5)

абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$, причём суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).

Если члены ряда (1) суть элементы некоторого банахова пространства с нормой элементов ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Vert u_{n}\Vert }$.

На случай абсолютно сходящегося ряда элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности абсолютно сходящийся ряд элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие абсолютно сходящегося ряда переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.