Коядро

Коядро́ морфизма категории, понятие, двойственное понятию ядра морфизма. В категориях векторных пространств, групп, колец и т. п. оно описывает наибольший факторобъект объекта ${\displaystyle B}$, аннулирующий образ гомоморфизма ${\displaystyle {\ce {\alpha \colon A->B}}}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ – категория с нулевыми морфизмами. Морфизм ${\displaystyle {{\ce {\nu: B -> C}}}}$ называется коядром морфизма ${\displaystyle {\ce {\alpha \colon A->B}}}$, если ${\displaystyle \alpha \nu =0}$ и всякий морфизм ${\displaystyle \varphi }$, для которого ${\displaystyle \alpha \varphi =0}$, однозначно представи́м в виде ${\displaystyle \varphi =\nu \psi }$. Коядро морфизма ${\displaystyle \alpha }$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {coker} \alpha }$.

Если ${\displaystyle \nu =\operatorname {coker} \alpha }$ и ${\displaystyle \nu ^{\prime }=\operatorname {coker} \alpha }$, то ${\displaystyle \nu ^{\prime }=\nu \xi }$ для единственного изоморфизма ${\displaystyle \xi }$.

Обратно, если ${\displaystyle \nu =\operatorname {coker} \alpha }$ и ${\displaystyle \xi }$ – изоморфизм, то ${\displaystyle \nu ^{\prime }=\nu \xi }$ есть коядро морфизма ${\displaystyle \alpha }$. Таким образом, все коядра морфизма ${\displaystyle \alpha }$ образуют факторобъект объекта ${\displaystyle B}$, который обозначается ${\displaystyle \operatorname {Coker} \alpha }$. Если ${\displaystyle \nu =\operatorname {coker} \alpha }$, то ${\displaystyle \nu }$ – нормальный эпиморфизм. Обратное, вообще говоря, неверно. Коядро нулевого морфизма ${\displaystyle {\ce {0\colon A->B}}}$ равно ${\displaystyle 1_{B}}$. Коядро единичного морфизма ${\displaystyle 1_{A}}$ существует тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ имеется нулевой объект.

В категории ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ с нулевым объектом морфизм ${\displaystyle {\ce {\alpha \colon A->B}}}$ обладает коядром в том и только в том случае, когда в ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ существует коуниверсальный квадрат относительно морфизмов ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle {\ce {0\colon A->0}}}$. Это условие выполнено, в частности, для любого морфизма локально малой справа категории с нулевым объектом и произведениями.