Бикатегория

Бикатего́рия, категория ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$, в которой выделены подкатегория эпиморфизмов ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ и подкатегория мономорфизмов ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ таким образом, что выполняются следующие условия:

1) всякий морфизм ${\displaystyle \alpha }$ из категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ разлагается в произведение ${\displaystyle \alpha =\nu \mu }$, где ${\displaystyle \nu \in {\mathfrak {E}}}$, ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {M}}}$;

2) если ${\displaystyle \nu \mu =\rho \tau }$, где ${\displaystyle \nu ,\rho \in {\mathfrak {E}}}$, ${\displaystyle \mu ,\tau \in {\mathfrak {M}}}$, то существует такой изоморфизм ${\displaystyle \theta }$, что ${\displaystyle \rho =\nu \theta }$ и ${\displaystyle \tau =\theta ^{-1}\mu }$;

3) ${\displaystyle {\mathfrak {E}}\cap {\mathfrak {M}}}$ совпадает с классом изоморфизмов категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$.

Эпиморфизмы из ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ (мономорфизмы из ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$) называются допустимыми эпиморфизмами (мономорфизмами) бикатегории.

Понятие бикатегории аксиоматизирует возможность разложения произвольного отображения в произведение сюръективного и инъективного отображений. Категория множеств, категория множеств с отмеченной точкой, категория групп являются бикатегориями с единственной бикатегорной структурой. В категории всех топологических пространств, а также в категории всех ассоциативных колец имеется целый класс различных бикатегорных структур.