Аддитивная категория

Аддити́вная катего́рия, категория ${\displaystyle C}$, в которой для любых двух объектов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ на множестве морфизмов ${\displaystyle {\text{Hom}}_{C}(X,Y)}$ определена структура абелевой группы таким образом, что композиция морфизмов

${\displaystyle {\text{Hom}}_{C}(X,Y)\times {\text{Hom}}_{C}(Y,Z)\to {\text{Hom}}_{C}(X,Z)}$

является билинейным отображением. Кроме того, требуется, чтобы в ${\displaystyle C}$ существовал нулевой объект (или нуль), а также произведение ${\displaystyle X\times Y}$ любых двух объектов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$.

В аддитивной категории существует прямая сумма ${\displaystyle X\bigoplus Y}$ любых двух объектов, которая изоморфна их произведению ${\displaystyle X\times Y}$. Двойственная категория к аддитивной категории также является аддитивной категорией.

Функтор ${\displaystyle F:C\to C^{\prime }}$ из аддитивной категории ${\displaystyle C}$ в аддитивную категорию ${\displaystyle C^{\prime }}$ называется аддитивным, если для любых объектов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ категории ${\displaystyle C}$ отображение ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{C}(X,Y)\to {\text{Hom}}_{C}\{F(X),F(Y)\}}$ является гомоморфизмом соответствующих абелевых групп. Аддитивная категория называется предабелевой, если для любого морфизма существует ядро и коядро.

Если для морфизма ${\displaystyle u:X\to Y}$ в аддитивной категории существует образ ${\displaystyle {\text{Im }}(u)}$ и кообраз ${\displaystyle {\text{Coim }}(u)}$, то определён единственный морфизм ${\displaystyle u:{\text{Coim }}(u)\to {\text{Im }}(u)}$ такой, что морфизм ${\displaystyle u}$ разлагается в композицию

${\displaystyle X\to {\text{Coim }}(u)\to {\text{Im }}(u)\to Y}$.

Каждая абелева категория по определению аддитивна. Примерами аддитивных неабелевых категорий могут служить категория топологических модулей над заданным топологическим кольцом относительно морфизмов, являющихся непрерывными линейными отображениями, а также категория абелевых групп ${\displaystyle \Gamma }$ с фильтрацией ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{0}\supset \Gamma _{1}\supset \ldots \supset \Gamma _{n}=\{0\}}$ относительно морфизмов, являющихся гомоморфизмами групп, сохраняющими фильтрацию.