Категория Гротендика

Катего́рия Гротенди́ка, абелева категория, обладающая семейством образующих и удовлетворяющая аксиоме: в категории ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ существуют копроизведения (суммы) любых семейств объектов и для каждого направленного по возрастанию семейства подобъектов${\displaystyle (U_{i},\mu _{i})}$, ${\displaystyle i\in I}$, и произвольного объекта ${\displaystyle A}$ и каждого подобъекта ${\displaystyle (V,\sigma )}$ выполнено равенство

${\displaystyle {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}(U_{i},\mu _{i}){\Bigr )}\cap (V,\sigma )=\bigcup _{i\in I}{\bigl (}(U_{i},\mu _{i})\cap (V,\sigma ){\bigr )}}$.

Категория левых (правых) ${\displaystyle \Lambda }$-модулей над произвольным ассоциативным кольцом ${\displaystyle \Lambda }$ с единицей и категории пучков ${\displaystyle \Lambda }$-модулей над произвольным топологическим пространством суть категории Гротендика. Полная подкатегория ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ категории ${\displaystyle _{\Lambda }{\mathfrak {M}}}$ левых ${\displaystyle \Lambda }$-модулей называется подкатегорией локализации, если она замкнута относительно копределов и если в точной последовательности

${\displaystyle 0\to A^{\prime }\to A\to A^{\prime \prime }\to 0}$,

объект ${\displaystyle A}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle A^{\prime }}$ и ${\displaystyle A^{\prime \prime }}$ принадлежат ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$. Каждая подкатегория локализации позволяет построить факторкатегорию ${\displaystyle _{\Lambda }{\mathfrak {M}}/{\mathfrak {S}}}$. Абелева категория тогда и только тогда является категорией Гротендика, когда она эквивалентна некоторой факторкатегории вида ${\displaystyle _{\Lambda }{\mathfrak {M}}/{\mathfrak {S}}}$.

В категориях Гротендика каждый объект обладает инъективной оболочкой, поэтому категории Гротендика хорошо приспособлены для гомологических приложений.