Вы́рожденное гипергеометри́ческое уравне́ние, конфлюэнтное уравнение, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

$$zw'' + (\gamma - z) w' - \alpha w = 0, \quad \alpha, \gamma = \operatorname{const}, \tag{1}$$ или, в самосопряжённой форме,
$$(e^{-z}z^\gamma w')' - \alpha e^{-z}z^{\gamma-1}w = 0.$$Переменные $z$, $w$ и параметры $\alpha$, $\gamma$ в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведённой формой уравнения (1) является уравнение Уиттекера. Уравнение (1) тесно связано с гипергеометрическим уравнением. Вырожденное гипергеометрическое уравнение можно рассматривать как уравнение, получающееся из дифференциального уравнения Римана при слиянии двух особых точек. Точка $x=0$ является для уравнения (1) регулярной особой точкой, а точка $x=\infty$ – сильно особой. Впервые систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Э. Э. Куммер (Kummer. 1836).

Решения уравнения (1) выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию $\Phi(\alpha, \gamma; z)$. Если $\gamma$ не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде $$w = C_1 \Phi(\alpha, \gamma, z) + C_2 z^{1-\gamma} \Phi(\alpha + 1 - \gamma , 2 - \gamma; z), \tag{2}$$где $C_1$, $C_2$ – произвольные постоянные; это представление справедливо в комплексной плоскости $z$ с разрезом $(-\infty, 0)$. Для целых значений $\gamma$ общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (2) (например, функции Уиттекера, см. Кратцер. 1963; Бейтмен. 1965). Решение уравнения (1) может быть представлено также через контурные интегралы в комплексной плоскости $z$.

Многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (например, уравнение Бесселя) преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. Камке. 1976). В частности, уравнение вида

$$\begin{gathered} (a_0 z+ b_0) w''+ (a_1 z+ b_1) w' + (a_2 z+ b_2) w= 0,\\ a_i, b_i = \operatorname{const}, \end{gathered}$$интегрируется с помощью вырожденной гипергеометрической функции.