Вне́шнее произведе́ние, основная операция внешней алгебры тензоров, определённых в $n$-мерном векторном пространстве $V$ над полем $K$.

Пусть $e_1, \ldots, e_n$ – базис $V$, $a$ и $b$ – $p$- и $q$-формы:

$$\begin{aligned} a & =a^{i_1 \ldots i_{p}} e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_p}, \\ b & =b^{j_1 \ldots i_{q}} e_{j_1} \otimes \ldots \otimes e_{j_p} . \end{aligned}$$Внешнее произведение форм $a$ и $b$ есть $(p+q)$-форма $c$, получающаяся альтернацией тензорного произведения $a\otimes b$. Форма $c$ обозначается $a \wedge b$; она имеет кососимметрические координаты

$$c^{k_1 \ldots k_{p+q}}=\frac{1}{p ! q !} \delta_{i_1 \ldots i_p j_1 \ldots j_q}^{k_1 \ldots k_{p+q}} a^{i_1 \ldots i_p} b^{j_1 \ldots j_q},$$где $\delta_{i_1 \ldots j_q}^{k_1 \ldots k_{p+q}}$ – компоненты обобщённого символа Кронекера. Аналогично определяется внешнее произведение ковариантных тензоров.

Основные свойства внешнего произведения:

1. $(k a) \wedge b=a \wedge(k b)=k(a \wedge b)$, $k \in K$, – однородность;

2. $(a+b) \wedge c=a \wedge c+b \wedge c$ – дистрибутивность;

3. $(a \wedge b) \wedge c=a \wedge(b \wedge c)$ – ассоциативность;

4. $a \wedge b=(-1)^{p q} b \wedge a$; если характеристика поля $K$ отлична от двух, то для формы $a$ нечётной валентности $a \wedge a=0$.

Внешнее произведение $s$ векторов называется разложимым $s$-вектором. Каждый поливектор размерности $s$ есть линейная комбинация разложимых $s$-векторов. Компоненты разложения являются $s \times s$-минорами $n \times s$-матрицы $\left(a_j^i\right)$, $1 \leqslant i \leqslant n$, $1 \leqslant j \leqslant s$, коэффициентов векторов $a_1, \ldots, a_s$. При $s=n$ их внешнее произведение имеет вид:

$$\alpha_n=a_1 \wedge a_2 \wedge \ldots \wedge a_n=\operatorname{det}\left(a_j^i\right) e_1 \wedge \ldots \wedge e_n .$$Над полями характеристики, отличной от двух, равенство $a_1 \wedge \ldots \wedge a_s=0$ необходимо и достаточно для линейной зависимости векторов $a_1, \ldots, a_s$. Ненулевой разложимый $s$-вектор $\alpha_s$ определяет в $V$ $s$-мерное ориентированное подпространство $A$, параллельное векторам $a_1, \ldots, a_s$, и параллелотоп, лежащий в $A$ и образованный векторами $a_1, \ldots, a_s$, выходящими из одной точки (этот параллелотоп обозначается через $\left[a_1, \ldots, a_s\right]$). Условия $a \in A$ и $\alpha_s \wedge a=0$ эквивалентны.