Уравне́ние Пенлеве́, общее название группы из шести специальных обыкновенных дифференциальных уравнений типа$$w^{\prime \prime}=R\left(w^{\prime}, w, z\right),$$где $R$ – рациональная функция от $w^{\prime}$ и $w$ и аналитическая функция от $z$. Любое такое уравнение, имеющее лишь неподвижные критические точки, может быть приведено к одному из 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений имеются линейные уравнения, уравнения Риккати и другие известные уравнения, а также 6 уравнений, называемых уравнениями Пенлеве и имеющих своими решениями трансцендентные функции Пенлеве – специальные функции, не сводящиеся к другим известным функциям. Расположенные в общепринятом порядке, уравнения Пенлеве имеют следующий вид ($a, b, c, d \in \mathbb{C}$ – константы):

$1)$ $w^{\prime \prime}=6 w^{2}+z$;

$2)$ $w^{\prime \prime}=2 w^{3}+z w+a$;

$3)$ $w^{\prime \prime}=\frac{w^{\prime 2}}{w}+e^{z}\left(a w^{2}+b\right)+e^{2 z}\left(c w^{3}+\frac{d}{w}\right), \quad b d \neq 0$;

$4)$ $w^{\prime \prime}=\frac{w^{\prime 2}}{2 w}+\frac{3}{2} w^{3}+4 z w^{2}+ 2\left(z^{2}-a\right) w+\frac{b}{w}$;

$\begin{aligned} \text{5) }w^{\prime \prime}&=w^{\prime 2}\left(\frac{1}{2 w}+\frac{1}{w-1}\right)-\frac{w^{\prime}}{z}+\frac{(w-1)^{2}}{z^{2}}\left(a w+\frac{b}{w}\right)+{} \\ &\qquad{}+c \frac{w}{z}+d \frac{w(w+1)}{w-1}; \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{6) }w^{\prime \prime}&=\frac{w^{\prime z}}{2}\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{w-1}+\frac{1}{w-z}\right)-\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}+\frac{1}{w-z}\right) w^{\prime}+ \\ &\qquad{}+\frac{w(w-1)(w-z)}{z^{2}(z-1)^{2}}\left[a+b \frac{z}{w^{2}}+c \frac{z-1}{(w-1)^{2}}+d \frac{z(z-1)}{(w-z)^{2}}\right]. \end{aligned}$

Указанные результаты впервые получены в исследованиях П. Пенлеве (Painlevé. 1900; Painlevé. 1902), которые были продолжены, уточнены и дополнены Б. Гамбье (Gambier. 1910).