Уравне́ние Колмого́рова, уравнение вида$$\frac{\partial f}{\partial s}=-A_{s} f \tag{1}$$(обратное, или первое, уравнение; $s<t$) или вида$$\frac{\partial f}{\partial t}=A_{t}^{*} f \tag{2}$$(прямое, или второе, уравнение; $t>s$) для переходной функции [$f=P(s, x ; t, \Gamma)$, $0 \leqslant s \leqslant t<\infty$, $x \in E$, $\Gamma \in \mathfrak{B}$, $(E, \mathfrak{B})$ – измеримое пространство] или её плотности [$f=p(s, x ; t, \Gamma)$, если она существует], к уравнению (1) для переходной функции ${P}(s, x ; t, \Gamma)$присоединяется условие$$\lim_{s\uparrow t} P(s,x;t,\Gamma) =I_{\Gamma}(x),$$а к уравнению (2) – условие$$\lim_{t\downarrow s} P(s,x;t,\Gamma) =I_{\Gamma}(x),$$где $I_{\Gamma}(x)$ – индикатор множества $\Gamma$; в этом случае оператор $A_{s}$ – оператор, действующий в пространстве функций, а $A_{t}^{*}$ – в пространстве обобщённых мер.

Для марковских процессов со счётным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода $p_{i j}(s, t)=P(s, i ; t,\{j\})$ (из состояния $i$ в момент $s$ в состояние $j$ в момент $t$ ), для которой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид:$$\frac{\partial p_{i j}(s, t)}{\partial s} =\sum_{k} \alpha_{i k}(s) p_{k j}(s, t), \quad s<t, \tag{3}$$$$\frac{\partial p_{i j}(s, t)}{\partial t} =\sum_{k} p_{i k}(s, t) \alpha_{k j}(t), \quad t>s, \tag{4}$$где$$\alpha_{i j}(s) =\lim _{s_{1} \uparrow s,\, s_{2} \uparrow s} \frac{p_{i j}\left(s_{1}, s_{2}\right)-\delta_{i j}}{s_{2}-s_{1}} . \tag{5}$$В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5).

Другой важный класс процессов, для которых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), – это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция ${P}(s, x ; t, \Gamma)$, $x \in \mathbb{R}$, удовлетворяет следующим условиям:

a) для всякого $x \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ равномерно по $s$, $s<t$,$$\int_{|x-y|>\varepsilon} P(s, x ; t, d y)=o(t-s),$$б) существуют функции $a(s, x)$ и $b(s, x)$ такие, что для всякого $x$ и $\varepsilon>0$ равномерно по $s$, $s<t$,$$\begin{aligned} &\int_{|x-y| \leqslant \varepsilon}(y-x) P(s, x ; t, d y)=a(s, x)(t-s)+o(t-s), \\ &\int_{|x-y| \leqslant \varepsilon}(y-x)^{2} P(s, x ; t, d y)=b(s, x)(t-s)+o(t-s). \end{aligned}$$Тогда, если существует плотность $p = p(s, x ; t, y)$, то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по $t>s$ и $y \in \mathbb{R}$) прямое уравнение$$\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial y}(a p)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(b p)$$(называемое также уравнением Фоккера – Планка), а обратное уравнение (по $s<t$ и $x \in \mathbb{R}$ ) имеет следующий вид:$$-\frac{\partial p}{\partial s}=a \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{b}{2} \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}.$$