Альтернати́ва Фредго́льма, альтернативное утверждение, вытекающее из теорем Фредгольма. В случае линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

$$\varphi(x)-\lambda \int_a^b K(x, s) \varphi(s) d s=f(x), \quad x \in[a, b],   \tag1$$альтернатива Фредгольма утверждает: либо уравнение (1) и сопряжённое с ним уравнение

$$\psi(x)-\bar{\lambda} \int_a^b \overline{K(s, x)} \psi(s) d s=g(x), \quad x \in[a, b],  \tag2$$имеют единственные решения $\varphi, \psi$, каковы бы ни были известные функции $f, g$, либо соответствующие однородные уравнения

$$\varphi(x)-\lambda \int_a^b K(x, s) \varphi(s) d s=0, \tag{1$'$}$$$$\psi(x)-\bar{\lambda} \int_a^b \overline{K(s, x)} \psi(s) d s=0  \tag{2$'$}$$имеют ненулевые решения, причём число линейно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравнений.

Во втором случае для того чтобы уравнение (1) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

$$\int_a^b f(x) \overline{\psi_k(x)} d x=0,\qquad k=1, \ldots, n,$$где $\psi_1, \ldots, \psi_n$ – полная система линейно независимых решений уравнения $(2')$. При этом общее решение уравнения $(1)$ имеет вид

$$\varphi(x)=\varphi_*(x)+\sum_{k=1}^n c_k \varphi_k(x),$$где $\varphi_k$ – какое-нибудь решение уравнения (1), $\varphi_1, \ldots$, $\varphi_n$ – полная система линейно независимых решений уравнения (1’), $c_k$ – произвольные постоянные. Сходные утверждения имеют место и для уравнения (2). 

Пусть $T$ – непрерывный линейный оператор, отображающий банахово пространство $E$ в себя; $E^*$, $T^*$ – соответствующие сопряжённые пространство и оператор. Рассматриваются уравнения:

$$T(x)=y,\qquad x, y \in E,  \tag3$$$$T^*(g)=f,\qquad g, f \in E^*, \tag4$$$$T(x)=0,\qquad x \in E, \tag{3$'$}$$$$T^*(g)=0, \qquad g \in E^* .\tag{4$'$}$$Справедливость альтернативы Фредгольма для оператора $T$ означает следующее: 1) либо уравнения (3) и (4) разрешимы, каковы бы ни были их правые части, и тогда их решения единственны; 2) либо однородные уравнения (3’) и (4’) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений $x_1, \ldots, x_n$ и $g_1, \ldots, g_n$ соответственно; в этом случае для разрешимости уравнения (3) соответственно уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы $g_k(y)=0$, $k=1,2, \ldots, n$, соответственно $f\left(x_k\right)=0$, $k=1,2, \ldots, n$; при этом общее решение уравнения (3) даётся равенством

$$x=x^*+\sum_{k=1}^n c_k x_k,$$а общее решение уравнения (4) – равенством

$$g=g^*+\sum_{k=1}^n c_k g_k,$$где $x^*$ (соответственно $g^*$) – какое-нибудь решение уравнения (3) [уравнения (4)], а $c_1, \ldots, c_n$ – произвольные постоянные. 

Каждое из следующих двух условий необходимо и достаточно, чтобы для оператора $T$ имела место альтернатива Фредгольма: 1) оператор $T$ представим в форме

$$T=W+V,$$где $W$ – оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, a $V$ – вполне непрерывный оператор; 2) оператор $T$ представим в форме

$$T=W_1+V_1,$$где $W_1$ – оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, а $V_1$ – конечномерный оператор.