Интегра́льное уравне́ние с симметри́чным ядро́м, интегральное уравнение с симметричным действительным ядром $$K(x,s)=K(s,x).$$Теория линейных интегральных уравнений с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (Hilbert. 1912) с привлечением теории симметричных квадратичных форм с помощью перехода от конечного числа переменных к бесконечному. Затем Э. Шмидт (Schmidt. 1907) предложил более элементарный метод обоснования результатов Д. Гильберта. Поэтому теорию интегральных уравнений с симметричным ядром часто называют также теорией Гильберта – Шмидта. Значительное ослабление ограничений, налагаемых в этой теории на заданные и искомые элементы уравнения, было достигнуто Т. Карлеманом (см. ниже).

Пусть имеется интегральное уравнение 2-го рода с действительным симметричным ядром:

$$\varphi(x)-\lambda \int_{a}^{b} K(x,s) \varphi(s)\,ds=f(x), \quad x \in[a,b].\tag1$$При построении теории интегральных уравнений с симметричным ядром достаточно предполагать, что симметричное ядро $K$ измеримо на квадрате $[a, b]\times[a, b]$:

$$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b}|K(x,s)|^{2}\,dx\,ds <\infty,\tag2$$а свободный член $f$ и искомая функция $\varphi$ – интегрируемые с квадратом функции на отрезке $[a,b]$ (интегралы понимаются в смысле Лебега).

Разработка теории интегральных уравнений с симметричным ядром начинается с изучения ряда общих свойств собственных чисел и собственных функций однородного симметричного интегрального уравнения:

$$\varphi(x)-\lambda \int_{a}^{b} K(x,s) \varphi(s)\,d s=0, \quad x \in[a,b].\tag3$$А именно, доказывается, что: уравнение (3) обладает по крайней мере одним собственным числом (когда $K$ почти всюду не равно нулю); собственные функции, принадлежащие различным собственным числам, ортогональны; собственные числа действительны; ввиду действительности ядра без ограничения общности можно предполагать, что собственные функции действительны; на любом конечном отрезке значений параметра $\lambda$ может находиться лишь конечное множество собственных чисел.

Множество всех собственных чисел уравнения (3) называется спектром этого уравнения. Спектр – непустое конечное или счётное множество чисел

$\{\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n},\ldots\}$; каждому числу $\mu_{n}$ спектра соответствует конечное множество линейно независимых собственных функций. Собственные числа и собственные функции можно расположить в виде последовательностей:

$$\left.\begin{array}{lllll} \lambda_{1}, & \lambda_{2}, & \ldots, & \lambda_{m}, & \ldots \\ \varphi_{1}, & \varphi_{2}, & \ldots, & \varphi_{m}, & \ldots \end{array}\right\}\tag4$$так, что абсолютные величины собственных чисел не убывают: $|\lambda_{k}|\leqslant|\lambda_{k+1}|$; каждое собственное число повторяется столько раз, сколько собственных функций ему соответствует. Поэтому каждому числу $\lambda_{k}$ в (4) соответствует лишь одна собственная функция. Можно считать, что система функций $\{\varphi_{k}\}$ ортонормирована. Последовательности (4) называются системой собственных чисел и собственных функций симметричного ядра $K$ или уравнения (3). Нахождение этой системы равносильно полному решению однородного симметричного интегрального уравнения (3).

Ряд Фурье ядра $K(x,s)$, рассматриваемого как функция от $s$ относительно ортонормированной системы $\{\varphi_{k}(s)\}$, имеет вид

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varphi_{k}(x) \varphi_{k}(s)}{\lambda_{k}}.\tag5$$Так составленный ряд из системы собственных чисел и собственных функций симметричного ядра $K$ называется билинейным рядом ядра $K$ или билинейным разложением ядра $K$ по его собственным функциям. Этот ряд сходится в среднем к ядру $K$, т. е.

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \int_{a}^{b}\left[K(x, s)-\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{2} \varphi_{k}(x) \varphi_{k}(s)\right]\,dx\,ds=0.$$Если же билинейный ряд (5) сходится равномерно, то

$$K(x,s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varphi_{k}(x) \varphi_{k}(s)}{\lambda_{k}}.$$В частности, это последнее равенство всегда имеет место, если ядро обладает лишь конечным множеством собственных чисел. В этом случае ядро $K$ является вырожденным. Имеет место и обратное утверждение: вырожденное симметричное ядро имеет конечное множество собственных чисел (и, следовательно, конечное множество собственных функций). Билинейный ряд непрерывного на квадрате $[a,b]\times[a,b]$ ядра $K$ с положительными собственными числами сходится равномерно.

Зная систему (4) собственных чисел и собственных функций, можно построить решение неоднородного уравнения (1). Имеют место следующие теоремы.

Если $\lambda$ не является собственным числом ядра $K$, то симметричное интегральное уравнение (1) имеет единственное решение $\varphi$, выражаемое формулой

$$\varphi(x)=f(x)+\lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f_{k}}{\lambda_{k}-\lambda}\varphi_{k}(x),\tag6$$где $\lambda_{k}$ – собственные числа, $f_{k}$ – коэффициенты Фурье функции $f$ относительно ортонормированной системы $\{\varphi_{m}\}$ собственных функций ядра, т. е.

$$f_{k}=\int_{a}^{b} f(s) \varphi_{k}(s)\,ds, \quad k=1,2, \ldots$$Пусть $\lambda=\lambda_{1}$ – собственное число ядра $K$; тогда симметричное интегральное уравнение (1) разрешимо лишь в случае, если удовлетворяются условия

$$f_{k}=\int_{a}^{b} f(s) \varphi_{k}(s)\,ds=0, \quad k=1,2, \ldots, q$$где $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{q}$ – собственные функции, принадлежащие собственному числу $\lambda_{1}$. При соблюдении этих условий все решения уравнения (1) выражаются формулой

$$\varphi(x)=f(x) +\lambda \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{f_{k}}{\lambda_{k}-\lambda} \varphi_{k}(x)+\sum_{k=1}^{q} c_{k} \varphi_{k}(x), \tag7$$где $c_{1},\ldots,c_{q}$ – произвольные постоянные.

Если ядро $K$ имеет бесконечное множество собственных чисел и, следовательно, в правых частях формул (6), (7) стоят бесконечные ряды, то они сходятся в среднем. Если от ядра $K$ дополнительно потребовать, что оно удовлетворяет условию

$$\int_{a}^{b}|K(x, s)|^{2}\,ds \leqslant \text{const}, \quad x \in[a,b],$$то упомянутые ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

Формулы (6) и (7) называются формулами Шмидта. Большая часть теории интегральных уравнений с симметричным ядром легко распространяется и на комплекснозначные функции. В этом случае аналогом действительного симметричного ядра является эрмитово ядро: $\overline{K(x,s)}=K(s, x)$.

Если известна система (4) собственных чисел и собственных функций симметричного ядра $K$, то можно легко исследовать симметричное уравнение Фредгольма 1-го рода $$\int_{a}^{b} K(x,s)\varphi(s)\,ds=f(x), \quad x\in[a,b].\tag8$$Пусть, как и выше, симметричное ядро $K$ уравнения (8) – интегрируемая с квадратом функция на квадрате $[a,b]\times[a,b]$, а правая часть $f$ и искомое решение $\varphi$ – такие же функции на отрезке $[a,b]$. Симметричное ядро называется полным, если система его собственных функций $\{\varphi_{m}\}$ полна (замкнута).

Теорема Пикара. Пусть $K(x,s)$ – полное ядро. Тогда для разрешимости уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы ряд

$$\sum_{k=1}^{\infty}\lambda_{k}^{2}|f_{k}|^{2},$$где $f_{k}$ – коэффициенты Фурье функции $f$, сходился. При выполнении этого условия решение (единственное) представимо в виде

$$\varphi(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda_{k} f_{k} \varphi_{k}(x),$$причём последний ряд сходится в среднем.

Т. Карлеман построил теорию при менее ограничительных условиях на симметричное ядро $K$, чем у Д. Гильберта и Э. Шмидта. Эти условия следующие:

1) $\int_{a}^{b} K^{2}(x,s)\,ds$ существует в смысле Лебега и

$$\lim _{y \rightarrow x} \int_{a}^{b}[K(y,s)-K(x,s)]^{2}\,ds=0$$для любого $x \neq x_{i}$, где $\{x_{i}\}$ – некоторая последовательность точек, которая может иметь конечное число предельных точек; 2) может существовать конечное множество точек $s_{1},\ldots,s_{n}\in\{x_{i}\}$, в окрестности которых функция

$$\sigma^{2}(x)=\int_{a}^{b} K^{2}(x,s)\,ds$$не интегрируема, но она интегрируема на множестве $\Delta_{\varepsilon}$, оставшемся после удаления из отрезка $[a,b]$ интервалов $(s_{i}-\varepsilon, s_{i}+\varepsilon)$, $i=1,\ldots,n$, где $\varepsilon$ – произвольное достаточно малое положительное число.

Пусть $K_{\varepsilon}(x, s)$ – функция, которая равна нулю на множестве точек $\{(x, s)\}$ таких, что $|x-s_{i}| \leqslant \varepsilon$, $|s-s_{i}| \leqslant\varepsilon$, $i=1,\ldots,n$, a вне этого множества в квадрате $[a,b]\times[a,b]$ совпадает с ядром $K$ уравнения (1). Идея метода Карлемана заключается в следующем: взамен уравнения (1) рассматривается линейное интегральное уравнение второго рода с ядром $K_{\varepsilon}$. Изучив спектр и решения этого уравнения, затем с помощью перехода пределу при $\varepsilon\rightarrow0$ исследуется спектр и решения уравнения (1).